Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. y^2+8x=16, y^2=24(x+2)

Ответ

Проверено экспертом

Автор - dnepr1

Заданные линии y^2+8x=16 и y^2=24(x+2) это две параболы, симметричные оси Ох, ветви которых направлены в разные стороны.

Точки их пересечения находятся выше и ниже оси Ох при одном значении переменной х.

Выразим функции относительно х и приравняем:

х = 2 - (y^2/8), х = (y^2/24) - 2.

2 - (y^2/8) = (y^2/24) - 2 или 2 - (3y^2/24) = (y^2/24) - 2.

Получаем (4y^2/24) = 4, отсюда y = √24 = +-2√6.

Находим значение по оси Ох, где находятся точки пересечения:

х = (16 - у²)/8 = (16 - 24)/8 = -8/8 = -1.

Так как точки пересечения лежат на прямой х = -1, то площадь фигуры делится на 2 части слева и справа, то есть с разными знаками.

Чтобы площадь не была отрицательной, интеграл возьмём от суммы.

$S=intlimits^{2sqrt{6} }_{-2sqrt{6} } {(2-frac{y^2}{8})+( 2-frac{y^2}{24}) } , dy=4y-frac{y^3}{18}|^{2sqrt{6} }_{-2sqrt{6} }=frac{32sqrt{6} }{3} =32sqrt{frac{2}{3} }.$