Найдите сумму четвёртых степеней корней уравнения x^2+x-1=0

Ответ

Автор - VоЛk

${x}^{2} + x - 1 = 0$

По теореме Виета

$x1 + x2 = - 1 \ x1 x2 = - 1$

Нам надо вот такое:

${x1}^{4} + {x2}^{4} = ( {x1}^{2} + {x2}^{2} )^{2} - 2 {(x1x2)}^{2} = ({(x1 + x2)}^{2} - 2 {(x1x2)}^{2})^{2} - 2x1x2 = (1 + 2)^2 - 2 =9-2=7$

Ответ: 7

Ответ

Проверено экспертом

Автор - yugolovin

Обратим сразу внимание на то, что уравнение имеет два корня. Для этого или посчитаем дискриминант, или заметим, что график функции $y=x^2+x-1 -$ парабола, ветви которой направлены вверх, причем y(0)=-1<0, что гарантирует два пересечения этой параболы с осью OX (координаты точек пересечения и являются корнями уравнения).

1-й способ. По теореме Виета $x_1+x_2=-1; x_1x_2=-1.$

Далее, $x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2=((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)^2-2=(1+2)^2-2=7.$

2-й способ: Если x - корень уравнения $x^2+x-1=0Rightarrow x^2=1-xRightarrow x^4=(1-x)^2=1-2x+x^2=1-2x+1-x=2-3x.$

Таким образом,

$x_1^4=2-3x_1; x_2^4=2-3x_2; x_1^4+x_2^4=2-3x_1+2-3x_2=4-3(x_1+x_2)=4+3=7$

Ответ: 7