Написать уравнения сторон треугольника , зная, что одна из вершин треугольника лежит в точке (1;2) , и уравнения двух высот 2x+5y+4=0 и x-2y-5=0

Ответ:

5x - 2y -1 =0;  2x +y -3 = 0;  x - 2,7y - 7,1 =0.

Объяснение:

Пусть дан треугольник АВС с вершиной в точке А(1;2).

Эта вершина не принадлежит ни одной из данных нам высот (проверяется путем подстановки координат точки А в оба уравнения.

Уравнения высот можно записать в виде уравнений с угловым коэффициентом:  

y = -(2/5)*x - 4/5 (1), где k=-(2/5) и y = (1/2)*x - 5/2 (2), где k= (1/2).

Уравнения сторон АВ и АС треугольника,  это уравнения прямых, перпендикулярных данным нам высотам, проходящих через точку А.

Условие перпендикулярности прямых: k1 = -1/k .

Уравнение прямой, проходящей через точку А(xa;ya), перпендикулярно прямой  y = kx +b определяется по формуле:

y - ya = -(1/k)*(x-xa).  В нашем случае уравнение одной из сторон треугольника будет: y -2 = -(-5/2)*(x - 1) =>  5x - 2y -1 =0 (3).

Уравнение второй стороны: y -2 = -(2/1)*(x-1)  => 2x +y -3 = 0. (4).

Теперь найдем координаты вершин В и С. Для этого решим системы двух уравнений: (1), (4) и (2), (3):

2x+5y+4=0  и 2x +y -3 = 0  =>  y = -1,75; x = 2,375.  => B(2,375;-1,75)

x-2y-5 = 0  и 5x - 2y -1 =0  =>  x = -1;  y = -3.  => C(-1;-3).

Имея координаты точек В и С, напишем уравнение прямой, проходящей через эти точки (третья сторона треугольника) по формуле:

(x-xb)/(xc-xb) = (y-yb)/(yc-yb)  =>  (x-2,375)/(-1-2,375) = (y+1,75)/(-3+1,75)  =>

x - 2,7y - 7,1 =0  это уравнение третьей стороны треугольника.

P.S. Для наглядности приложен рисунок. Проверить решение можно, подставляя в уравнения сторон координаты вершин, принадлежащих этим сторонам.