Автор - juuzz9
Ответ:
y = C1 + C2*e^(4x) + x*(2x + 1)
Пошаговое объяснение:
y'' - 4y' = -16x + 8
Линейное неоднородное дифф. уравнение.
Решаем сначала однородное.
y'' - 4y' = 0
Характеристическое уравнение
k^2 - 4k = 0
k1 = 0; k2 = 4
Решение однородного уравнения
y0 = C1 + C2*e^(4x)
Находим частное решение неоднородного уравнения.
Для этого напишем уравнение такого же вида, как правая часть.
Но один из корней характеристического уравнения равен 0, поэтому умножим ответ на х.
y* = x*(Ax + B)
y* ' = Ax + B + x*A = 2Ax + B
y* '' = 2A
Подставляем в уравнение
2A - 4*(2Ax + B) = -16x + 8
-8Ax + (2A - 4B) = -16x + 8
Система
{ -8A = -16
{ 2A - 4B = 8
Отсюда
{ A = 2
{ 2A - 4B = 2*2 - 4B = 4 - 4B = 8
B = - 1
y* = x*(2x - 1)
Итоговое решение уравнения
y = y0 + y* = C1 + C2*e^(4x) + x*(2x - 1)