Вычислить пределы функций, используя I, II замечательные пределы и эквивалентность БМФ.

Ответ

Автор - Guerrino

При $sf x rightarrow 0$ $sf arcsin x sim sin x sim x$ ;

Таким образом, можно переписать предел:

$sf lim limits_{xrightarrow 0}(1-ln(1+x^{3}))^{frac{3}{x^{3}}$ ; Удобно сделать замену: $sf x^{3}:=frac{1}{t}$ ; Предел получится таким:

$sflim limits_{tto infty}(1-ln(frac{t+1}{t}))^{3t}=limlimits_{ttoinfty}(1-ln(frac{1}{t})-ln(t+1))^{3t}$ ; Воспользуемся следующим фактом: $sflog_{a}x sim frac{x}{ln a},; textbf{if};; xto 0$ При этом $sfln(1+x) sim x$ ; Тогда: $sflimlimits_{ttoinfty}(1-ln(1+frac{1}{t}))^{3t}=limlimits_{ttoinfty}(1-frac{1}{t})^{3t}=limlimits_{ttoinfty}(frac{t-1}{t})^{3t}=limlimits_{ttoinfty}(frac{t}{t+1})^{3t}=limlimits_{ttoinfty}(1+frac{1}{t})^{-3t}$ ; Последний предел очевиден: $sflimlimits_{ttoinfty}((1+frac{1}{t})^{t})^{-3}=e^{-3}$