Дано 25 чисел, причём известно, что сумма любых четырёх из них положительна.Объясните, почему положительной будет сумма всех 25 чисел.

Ответ

Проверено экспертом

Автор - yugolovin

Порассуждаем не торопясь. Пусть всего чисел не 25, а 5: $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ . Выпишем все четверки:

$a_1, a_2, a_3, a_4;$

$a_1, a_2, a_3, a_5;$

$a_1, a_2, a_4, a_5;$

$a_1, a_3, a_4, a_5;$

$a_2, a_3, a_4, a_5.$

По условию все они положительны. Сложим все эти четверки. Снова получится положительное число. Поскольку каждое из чисел входит ровно в четыре четверки (для дальнейшего важно, что каждое число входит в одинаковое количество четверок), то общая сумма будет иметь вид

$4(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)>0.$

Отсюда и следует утверждение.

Для 25 чисел рассуждение ничем не отличается, только четверок намного больше (те, кто знаком с комбинаторикой, может подтвердить, что всего четверок будет $C_{25}^4=frac{25!}{4|(25-4)|}=frac{25!}{4!21!}=frac{25cdot 24cdot 23cdot 22}{4cdot 3cdot 2cdot 1}=25cdot 23cdot 22=12650$ , хотя это абсолютно неважно для решения задачи). Важно только, что каждое из чисел будет входить в одинаковое количество четверок. Неважно, чему равно это количество, но доказывая тезис о том, что все математики страшные зануды, найдем его. Подбирая для конкретного числа "трех соседей", мы тем самым из 24 чисел выбираем три числа, а сделать это можно

$C_{24}^3=frac{24!}{3!21!}=frac{24cdot 23cdot 22}{3cdot 2cdot 1}=4cdot 23cdot 22=2024$ способами. Сложив все четверки, а они по условию положительные) мы получим положительное число

$2024(a_1+a_2+ldots +a_{25})>0Rightarrow a_1+a_2+ldots + a_{25}>0.$

Доказательство завершено.