Две стороны треугольника равны а и b, а его площадь S. Докажите, что выполняется неравенство S≤a²+b²/4.

Ответ:

Объяснение:

правильное условие задачи будет если S≤(a²+b²)/4

если это принять то задача имеет следующее решение

1) рассмотрим треугольник со сторонами a и b

приняв за основание a .  площадь треугольника определяется по формуле

S=a*h/2 , где h - высота треугольника проведенная к стороне a

для остроугольного и тупоугольного треугольника h<b

а для прямоугольного треугольника h=b

⇒ у треугольника со сторонами a и b площадь будет максимальной если он будет прямоугольным и a, b его катеты

тогда справедливо неравенство ab/2≥S для любого треугольника

2) используем известное неравенство

среднее арифметическое двух положительных чисел больше среднего геометрического

(a+b)/2≥√ab

для чисел a² и b²

(a²+ b²)/2≥√(a²b²)

(a²+ b²)/2≥ab

разделим обе части неравенства на 2

(a²+ b²)/4≥ab/2

с учетом того что  ab/2≥S получаем

(a²+ b²)/4≥ab/2≥S

или  S≤(a²+b²)/4.