Решить уравнение логарифма

Ответ

Автор - aastap7775

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$log_{(x+1)}(1-3x) = -1 + log_{sqrt{1-3x}}(1 - 2x - 3x^2)\log_{(x+1)}(1-3x) = - 1 + 2log_{(1 - 3x)}(x+1)(1-3x)\log_{(x+1)}(1-3x) = - 1 + 2(log_{(1 - 3x)}(x+1)+ log_{(1 - 3x)}(1-3x))\log_{(x+1)}(1-3x) = -1 + 2log_{(1 - 3x)}(x+1) + 2 = 1 + 2log_{(1 - 3x)}(x+1)\log_{(x+1)}(1-3x) = t;\log_{(1 - 3x)}(x+1) = frac{1}{log_{(x+1)}(1-3x)} = frac{1}{t}\ t = 1 + frac{2}{t}\ t^2 = t + 2\t^2 - t - 2 = 0\t_1 = -1\t_2 = 2\log_{(x+1)}(1-3x) = -1\1-3x = (x+1)^{-1} = frac{1}{x+1}\$

$(1-3x)(x+1) = 1\1 - 2x - 3x^2 = 1\3x^2 + 2x = 0\3x(x + frac{2}{3}) = 0\ x_1=0\x_2 = -frac{2}{3}\ log_{(x+1)}(1-3x) = 2\(x+1)^2 = 1-3x\x^2 + 2x + 1 = 1 - 3x\x^2 + 5x = 0\x(x+5) = 0\x_3 = 0\x_4 = -5.\$

Чтобы не искать ОДЗ, выполним проверку:

1. $x = x_1 = 0\$

Очевидно, основание первого логарифма - это единица. Значит, x = 0 - побочный корень.

2. $x = x_2 = -frac{2}{3}\log_{(-frac{2}{3} +1)}(1 + 2) = -1 + log_{sqrt{1 + 2}}(1 + frac{4}{3} - frac{4}{3})\ -1 = -1 + 0 = -1 - true.$

Значит, x = $-frac{2}{3}$ является корнем.

3. Третий случай совпадает с первым.

4. При подстановке x = -5 основание первого логарифма отрицательно. Значит, x = -5 - это побочный корень.

Аналогично решается и второй пример, просто числа другие.