Биссектриса BD треугольника ABC делит сторону AC на отрезки AD = 4 и DC = 1 . На прямой BD взята точка K (точка B лежит между K и D) так , что BK = 6 и угол AKC равен половину угла ABC. Найдите стороны AB и BC .

Ответ:

Треугольника АВС со сторонами АВ=12, ВС=3 и АС=5 НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

Объяснение:

Обозначим углы: ∠ABD = ∠DBC = ∠AKC = α (равенство углов дано в условии),

∠AKB = β, ∠KAB =  γ.

В треугольнике АКВ угол ∠ABD = α - внешний и равен β + γ. (свойство внешнего угла) =>  α = β + γ.

В треугольнике CBK угол ∠СКВ = γ, так как ∠АКВ = β (принято нами), а ∠АКС = α (дано).

В треугольнике CBK угол ∠DBC (α) внешний, <BKC= γ.  => <KCB = β.

Треугольники АКВ и КСВ подобны по двум углам.

По свойству биссектрисы треугольника АВС АВ = 4х, ВС = х.

Из подобия треугольников АКВ и КСВ имеем

АВ/ВК=ВК/ВС. Или  4х/6 = 6/х  => х = 3 ед.  =>  

АВ = 12 ед, ВС = 3 ед.

НО ПО ТЕОРЕМЕ О НЕРАВЕНСТВЕ ТРЕУГОЛЬНИКА ТАКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА НЕ СУЩЕСТВУЕТ, так как

АВ > ВC+AC (12 > 3+5).   => ОШИБКА в УСЛОВИИ.