Якої висоти по відношенню до радіуса має мати циліндрична посудина щоб вона мала найбільший об'єм з найменшою бічною поверхнею

Объём цилиндра равен Vц = πr²H.

Его боковая поверхность Sбок = 2πrH.

Отношение  объёма к боковой поверхности равно:

Vц / Sбок =  πr² H /2πrH. = r/2.

Как видим,  для данного основания цилиндра эта величина постоянная и равна r/2, то есть не имеет максимума.

Ответ: чем больше радиус основания цилиндра при равном объёме, тем больше отношение объёма к боковой поверхности.

Если бы в задаче требовалось учесть полную поверхность цилиндра (с двумя основаниями), то тогда есть решение на экстремум.

Высота цилиндра с наименьшей площадью поверхности должна быть равна его диаметру, то есть осевое сечение такого цилиндра представляет собой квадрат.