Найдите все а, при которых есть хотя бы 1 решение

Ответ

Проверено экспертом

Автор - DNHelper

Рассмотрим функцию $f(x)=5x+|2x-|x+a||-10|x+1|$ . Её график представляет собой некоторую бесконечную ломаную, состоящую из частей прямых с разным углом наклона.

Даже если модули $|2x-|x+a||$ и $|x+a|$ раскроются так, чтобы перед иксами везде был плюс (получится 8x), то угол наклона всё равно будет зависеть от того, как раскроется модуль $|x+1|$ , то есть при x ≥ -1 8x-10x = -2x — функция убывает; при x < -1 8x+10x = 18x — функция возрастает. Так как больше 8x мы получить не можем, x = -1 — точка максимума этой функции. Значит, это уравнение (f(x) = 0) имеет хотя бы одно решение, если

$displaystyle f(-1)geq 0\-5+|-2-|a-1||-10|1-1|geq 0\|2+|a-1||geq 5\left [ {{2+|a-1|geq 5} atop {2+|a-1|leq -5~(-)}} right. \|a-1|geq 3\left [ {{a-1geq 3} atop {a-1leq -3}} right.\left [ {{ageq 4} atop {aleq -2}} right.$

Ответ: $(-infty;-2]cup[4;+infty)$