Вирішіть рівняння х^4+x^3-8x+1 = 0

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Решение уравнения 4-ой степени методом Феррари.

Пусть имеется общий уравнения четвертной степени

$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$

В данном случае a = 1; b = 0; c = -8; d = 1.

Выполним замену, пусть $x=y-dfrac{a}{4}=y-dfrac{1}{4}$ , получим

$y^4-y^3+dfrac{3}{8}y^2-dfrac{1}{16}y+dfrac{1}{256}+y^3-dfrac{3}{4}y^2+dfrac{3}{16}y-dfrac{1}{64}-8y+2+1=0\ \ y^4-dfrac{3}{8}y^2-dfrac{63}{8}y+dfrac{765}{256}=0$

p = -3/8; q = -63/8; r = 765/256.

Подставляя коэффициенты в уравнение $2s^3-ps^2-2rs+rp-dfrac{q^2}{4}=0$

Мы получим $4096s^3+768s^2-12240s-34047=0$ и решим это уравнение методом разложения на множителей

$4096s^3-9984s^2+10752s^2-26208s+13968s-34047=0\\256s^2(16s-39)+672s(16s-39)+873(16s-39)=0\ \ (16s-39)(256s^2+672s+873)=0$

Получаем $s=dfrac{39}{16}$

$256s^2+672s+873=0$

Это уравнение решений не имеет, так как D = -442368 < 0.

Далее подставляем коэффициент в квадратное уравнение вида

$y^2+ysqrt{2s-p}-dfrac{q}{2sqrt{2s-p}}+s=0$

$y^2+ysqrt{2cdotdfrac{39}{16}+dfrac{3}{8}}+dfrac{63}{16sqrt{2cdotdfrac{39}{16}+dfrac{3}{8}}}+dfrac{39}{16}=0\\ \ y^2-dfrac{sqrt{21}}{2}y-dfrac{3sqrt{21}}{8}+dfrac{39}{16}=0\ \ y^2-dfrac{sqrt{21}}{2}y+dfrac{19.5-3sqrt{21}}{8}=0\ \ D=left(-dfrac{sqrt{21}}{2}right)^2-4cdot dfrac{19.5-3sqrt{21}}{8}=dfrac{21}{4}-dfrac{39-6sqrt{21}}{4}=dfrac{3sqrt{21}-9}{2}\ \ \ y_{1,2}=dfrac{dfrac{sqrt{21}}{2}pmsqrt{dfrac{3sqrt{21}-9}{2}}}{2}=dfrac{sqrt{21}pmsqrt{6sqrt{21}-18}}{4}$

Выполнив обратную замену, получим ответ

$x_{1,2}=dfrac{sqrt{21}pmsqrt{6sqrt{21}-18}}{4}-dfrac{1}{4}=dfrac{sqrt{21}-1pmsqrt{6sqrt{21}-18}}{4}$

Ответ

Автор - aastap7775

Ответ:

Объяснение:

$x^{4} + x^3 - 8x + 1 = 0\$

Выделим полную четвертую степень:

$x^4 + frac{1}{4} * 4 * x^3 + 6 * (frac{1}{4})^2 * x^2 + 4 * (frac{1}{4})^3 x + (frac{1}{4})^4 - (6 * (frac{1}{4})^2 * x^2 + 4 * (frac{1}{4})^3 x + (frac{1}{4})^4) - 8x + 1 = 0\(x + frac{1}{4})^4 - frac{3}{8}x^2 - frac{129}{16}x + frac{255}{256} =0$

Сделаем замену: $x + frac{1}{4} = y.$

Откуда: $x = y - frac{1}{4}$

Уравнение примет вид:

$y^4 - frac{3}{8}y^2 - frac{63}{8}y +frac{765}{256}=0$

Домножим обе части уравнения на 256 и сделаем замену m = 4y;

$m^4 - 6m^2 - 504m + 765 = 0\(m^2)^2 - 2 * 3 m^2 + 9 - 9 - 504m + 765 = 0\(m^2 - 3)^2 = 504m - 756\(m^2 - 3 + t)^2 = 504m - 756 + 2t(m^2-3) + t^2$ , где t - такое число, которое сворачивает правую часть в полный квадрат. Его следует найти, рассмотрев квадратный трехчлен относительно m и найдя его дискриминант и приравняв его к нулю:

$2tm^2 + 504m + t^2 - 6t - 756 = 0\D/4 = 252^2 - 2t(t^2 - 6t - 756) = 0\t = 42$ - корень. Значит, можно разделить данный трехчлен на (t - 42), получим:

$t^3 - 6t^2 - 756t - 31752 = (t - 42)(t^2 + 36t + 756)$

Очевидно, второй множитель не имеет действительных решений. Значит, t = 42. Напомню, что это такое число, при котором правая часть - полный квадрат. Подставим его.

$(m^2 - 3 + 42) = 504m - 756 + 2 * 42(m^2 - 3) + 42^2\(m^2 + 39)^2 = 504m + 84m^2 + 756 = 84(m^2+ 6m + 9) = 84(m + 3)^2\[tex](m^2 + 39)^2 = (2sqrt{21} (m+3))^2$

$(m^2 + 39)^2 - (2sqrt{21} (m+3))^2 = 0\(m^2 + 39 - 2sqrt{21}(m+3))(m^2 + 39 + 2sqrt{21}(m+3))=0\(m^2 - 2sqrt{21}m + 39 - 6sqrt{21})(m^2 + 2sqrt{21}m + 39 + 6sqrt{21})=0\$

Рассмотрим первый множитель:

$m^2 - 2sqrt{21}m + 39 - 6sqrt{21} = 0\D/4 = 21 + 6sqrt{21} -39 = 6sqrt{21} - 18 > 0\m_1 = sqrt{21} + sqrt{6sqrt{21} - 18}\m_2 = sqrt{21} - sqrt{6sqrt{21}- 18}\4y = m\y = frac{1}{4} m\y_1 = frac{1}{4} (sqrt{21} + sqrt{6sqrt{21} - 18})\x = y - frac{1}{4} \x_1 = frac{1}{4} (sqrt{21} - 1 + sqrt{6sqrt{21} - 18})\y_2 = frac{1}{4} (sqrt{21} - sqrt{6sqrt{21} - 18})\$

Аналогично рассмотрев второй множитель обнаружим, что D/4 < 0, а значит, действительных корней нет.

Ответ:

$x_1 = frac{1}{4} (sqrt{21} - 1 + sqrt{6sqrt{21} - 18})\x_2 = frac{1}{4} (sqrt{21} - 1 - sqrt{6sqrt{21} - 18})$

вирішіть рівняння х^4+x^3-8x+1 = 0

Ответ

Проверено экспертом

Ответ

Ответы и объяснения