Помогите пожалуйста решить пределы

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Применим второй замечательный предел:

$displaystyle lim_{x to infty}left(1+frac{1}{x}right)^{x}=lim_{x to 0}left(1+xright)^{frac{1}{x}}=e$

Номер 99*************************

$displaystyle lim_{x to infty}left(frac{x^2-1}{x^2}right)^{2x^2}=lim_{x to infty}left(1-frac{1}{x^2}right)^{-2cdot (-x^2)}=e^{-2}$

Номер 100**********************

$displaystyle lim_{x to 0}left(frac{cos x}{cos 3x}right)^{frac{1}{x^2}}=lim_{x to 0}left(1+frac{cos x}{cos 3x}-1right)^big{frac{1}{x^2}cdot (frac{cos x}{cos 3x}-1)cdot frac{1}{(frac{cos x}{cos 3x}-1)}}=\ \ \ =e^{lim_{x to 0}frac{1}{x^2}cdotfrac{cos x-cos 3x}{cos 3x}}=e^{lim_{x to 0}frac{2sin xsin 2x}{x^2}}=e^{4}$

Номер 101*************************

$displaystyle lim_{n to infty}left(cos frac{x}{n}right)^n=lim_{n to infty}left(1+cosfrac{x}{n}-1right)^big{ncdot frac{cos frac{x}{n}-1}{cos frac{x}{n}-1}}=e^{lim_{n to infty}n(cos frac{x}{n}-1)}=1$

Номер 102*************************

$displaystyle lim_{n to infty}left(cos frac{a}{sqrt{n}}right)^n=lim_{n to infty}left(1+cos frac{a}{sqrt{n}}-1right)^big{ncdot frac{cosfrac{a}{sqrt{n}}-1}{cosfrac{a}{sqrt{n}}-1}}=\ \ \ =e^{lim_{n to infty}ncdot (cosfrac{a}{sqrt{n}}-1)}=e^{lim_{n to infty}n cdot frac{(-sin^2frac{a}{sqrt{n}})}{cos frac{a}{sqrt{n}}+1}}=e^{lim_{n to infty}frac{-a^2n}{2n}}=e^{-a^2/2}$

помогите пожалуйста решить пределы

Ответ

Проверено экспертом

Ответы и объяснения