Решите уравнение sin 6x-cos6x=2(sin4x+cos4x)-1

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

$sin^6x-cos^6x=2(sin^4x+cos^4x)-1\ (sin^3x-cos^3x)(sin^3x+cos^3x)=2(sin^4x+cos^4x)-(sin^2x+cos^2x)^2\ (sin x-cos x)(1+sin xcos x)(sin x+cos x)(1-sin xcos x)=\ =2sin^4x+2cos^4x-sin^4x-2sin^2xcos^2x-cos^4x\ (sin^2x-cos^2x)(1-sin^2xcos^2x)=(sin^2x-cos^2x)^2\ (sin^2x-cos^2x)(1-sin^2xcos^2x-sin^2x+cos^2x)=0\ -cos 2x(sin^2x+cos^2x-sin^2xcos^2x-sin^2x+cos^2x)=0\ -cos2x(2cos^2x-sin^2xcos^2x)=0\ -cos 2xcos^2x(2-sin^2x)=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей обращается к нулю

$cos 2x=0\ 2x=dfrac{pi}{2}+pi n,n in mathbb{Z}~~~~Rightarrow~~~ boxed{x_1=dfrac{pi}{4}+dfrac{pi n}{2},n in mathbb{Z}}\ \ cos^2x=0\ cos x=0~~~~Rightarrow~~~ boxed{x_2=dfrac{pi}{2}+pi n,n in mathbb{Z}}$

$sin^2x-2=0\ sin x=pmsqrt{2}$

Это уравнение решений не имеет, т.к. синус принимает значения [-1;1].

решите уравнение sin 6x-cos6x=2(sin4x+cos4x)-1

Ответ

Проверено экспертом

Ответы и объяснения