сумма первых трех чисел геометрической прогрессии равна 15.Если к этим членам прибавить соответсвенно 1;3 и 9,то получается первые три члена возрастающей геометрической прогрессии. Найдите сумму первых семи членов этой геометрической прогрессии

Ответ

Автор - Banabanana

Пусть a, b, c - первые три члена арифметической прогрессии, тогда по условию:

а + b + с = 15 [1]

По свойству арифметической прогрессии:

b - а = с - b

2b = а + с подставим в уравнение [1], получим:

2b + b = 15

3b = 15

b = 5 - второй член арифметической прогрессии.

Тогда сумма первого и третьего членов:

а + с = 15 - 5

а + с = 10 ⇒ c = 10 - a

Переходим к геометрической прогрессии. По условию:

первый член = а + 1

второй член = b + 3 = 5 + 3 = 8

третий член = с + 9 = 10 - a + 9 = 19 - a

По свойству геометрической прогрессии:

$displaystylett frac{8}{a+1}= frac{19-a}{8}; aneq-1\\\ 8cdot8=(a+1)(19-a)\\64=19a-a^2+19-a\\a^2-18a+45=0\\D=324-180=144=12^2\\a_1=frac{18-12}{2}=3$

$displaystylett a_2=frac{18+12}{2}=15$ не удовл.условию, так как искомая геометрическая прогрессия возрастающая.

Получили а = 3, тогда с = 10 - а = 10 - 3 = 7

Итак, первые три члена арифметической прогрессии: 3; 5; 7.

Найдем три первых члена геометрической прогрессии:

первый член = а + 1 = 3 + 1 = 4

второй член = 8

третий член = с + 9 = 7 + 9 = 16

Искомая геометрическая прогрессия: 4; 8; 16; ...

Найдем сумму 7 первых членов.

b₁ = 4 - первый член

q = b₂/b₁ = 8/4 = 2 - знаменатель прогрессии

Искомая сумма:

$tt S_7=cfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}= cfrac{4(2^7-1)}{2-1}=4cdot127=508$

Ответ: 508