В треугольнике авс проведена медиана bd, угол авс равен 135 градусов. окружность радиуса r, описанная около треугольника bcd, касается прямой ab. найти площадь треугольника abc

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Поскольку BD - медиана треугольника АВС, то AD = CD и пусть

AD = CD = x, тогда по теореме о секущей и касательной, имеем

$AB^2=ADcdot AC~~~Rightarrow~ AB=sqrt{2xcdot x}=xsqrt{2}$ . По теореме

синусов $dfrac{AC}{sin135^circ}=dfrac{AB}{sin angle C}~~Rightarrow~~sinangle C=dfrac{xsqrt{2}cdot1/sqrt{2}}{2x}=dfrac{1}{2}$

Откуда угол С = 30 градусам. По теореме синусов из треугольника DBC, имеем что $dfrac{BD}{sin angle C}=2r~~Rightarrow~~BD=2rsinangle C=r$

$angle C=angle DBA$ (оба угла измеряются половинной дуги BD) и ∠A у треугольников ABD и АВС общий, следовательно, треугольники ABD и ABC подобные, из подобия треугольников следует, что $dfrac{BD}{BC}=dfrac{AB}{AC}~~Rightarrow~~dfrac{BD}{BC}=dfrac{xsqrt{2}}{2x}=dfrac{sqrt{2}}{2}$ , тогда

$dfrac{r}{BC}=dfrac{sqrt{2}}{2}~~~Rightarrow~~BC=rsqrt{2}$

Далее по теореме косинусов из треугольника ABC

$AC^2=AB^2+BC^2-2cdot ABcdot BCcos 135^circ\ \ (2x)^2=(xsqrt{2})^2+(rsqrt{2})^2-2cdot xsqrt{2}cdot rsqrt{2}cdot (-frac{1}{sqrt{2}})\ \ 4x^2=2x^2+2r^2+2xrsqrt{2}\ \ x^2-xrsqrt{2}-r^2=0\ \ D=2r^2+4r^2=6r^2;~~~sqrt{D}=rsqrt{6}\ \ x=dfrac{rsqrt{2}pm rsqrt{6}}{2}$

Так как x > 0, то нам подходит $x=dfrac{rsqrt{2}+ rsqrt{6}}{2}$

Тогда $AB=xsqrt{2}=dfrac{rsqrt{2}+ rsqrt{6}}{2}cdot sqrt{2}=r(1+sqrt{3})$

Площадь треугольника ABC: $S=dfrac{1}{2}cdot ABcdot BCsin135^circ=dfrac{1}{2}cdot r(1+sqrt{3})cdot rsqrt{2}cdot dfrac{1}{sqrt{2}}=dfrac{r^2(1+sqrt{3})}{2}$ кв. ед.