найти все решения уравнения в натуральных числах
$frac{1}{x}+ frac{1}{y}+ frac{1}{z} = 1$
при xleq yleq z

Ответ

Автор - nelle987

Ответ:

$(x,y,z)in{(2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3)}$

Пошаговое объяснение:

$xleqslant yleqslant zRightarrow dfrac1xgeqslantdfrac1ygeqslantdfrac1zRightarrow dfrac3xgeqslantdfrac1x+dfrac1y+dfrac1z=1\boxed{xleqslant 3}$

Перебираем возможные x:

1) x = 1 - очевидно, не подходит

2) x = 2

$dfrac12+dfrac1y+dfrac1z=1\dfrac1y+dfrac1z=dfrac12\dfrac2ygeqslantdfrac1y+dfrac1z=dfrac12\boxed{yleqslant 4}$

y = 2, 3 или 4. Подставляя возможные y, находим, что (x, y, z) = (2, 3, 6) или (2, 4, 4)

3) x = 3

$dfrac13+dfrac1y+dfrac1z=1\dfrac1y+dfrac1z=dfrac23\dfrac2ygeqslantdfrac1y+dfrac1z=dfrac23\boxed{yleqslant 3}$

Единственное возможное значение y - это y = 3. Тогда z = 3.