Вычислить сумму:tex1 + frac22 + frac32^2 + frac42^3 + ... + fracn 2^n - 1 /tex

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Обозначим сумму через S, тогда умножая равенство на (-2), мы

получим:

$-2S=-2-2-dfrac{3}{2}-dfrac{4}{2^2}-...-dfrac{n}{2^n}$

Сложим почленно S и -2S, мы получим

$S-2S=-2+1+dfrac{2}{2}-2+dfrac{3}{2^2}-dfrac{3}{2}+dfrac{4}{2^3}-dfrac{4}{2^2}+...+dfrac{n}{2^{n-1}}-dfrac{n}{2^n}\ \ -S=-3-dfrac{1}{2}-dfrac{1}{2^2}-dfrac{1}{2^3}-...+dfrac{n}{2^{n-1}}~~~bigg|cdot (-1)\ \ S-3=dfrac{1}{2}+dfrac{1}{2^2}+dfrac{1}{2^3}+...-dfrac{n}{2^{n-1}}$

$S-3=dfrac{dfrac{1}{2}bigg(1-dfrac{1}{2^{n-2}}bigg)}{1-dfrac{1}{2}}-dfrac{n}{2^{n-1}}~~Rightarrow~~~ S=4-dfrac{1}{2^{n-2}}-dfrac{n}{2^{n-1}}$

Вычислить сумму:
$1 + frac{2}{2} + frac{3}{{2}^{2} } + frac{4}{{2}^{3} } + ... + frac{n}{ {2}^{n - 1} }$

Ответ

Проверено экспертом

Ответы и объяснения

Вычислить сумму:​

Ответ

Проверено экспертом

Вычислить сумму:
$1 + frac{2}{2} + frac{3}{{2}^{2} } + frac{4}{{2}^{3} } + ... + frac{n}{ {2}^{n - 1} }$