Помогите решить пожалуйста

Ответ

Автор - artalex74

$y=dfrac{sinx(ctgx+1)+cosx(tgx+1)}{2}=dfrac{cosx+sinx+sinx+cosx}{2}=\\=sinx+cosx=sqrt{2}(frac{sqrt{2}}{2}cosx+frac{sqrt{2}}{2}sinx)=sqrt{2}(sinfrac{pi }{4}cosx+cosfrac{pi }{4}sinx)=\\=sqrt{2}sin(frac{pi }{4}+x)\\Rightarrow y=sqrt{2}sin(frac{pi }{4}+x)$

Т.к. при любом t верно неравенство -1 ≤ t ≤ 1, то

$-1leq sin(frac{pi }{4}+x)leq 1 Rightarrow -sqrt{2}leq sqrt{2}sin(frac{pi }{4}+x)leq sqrt{2}\\ Rightarrow E(y)=[-sqrt{2}; sqrt{2}]$

Ответ: $[-sqrt{2}; sqrt{2}]$

2) $y=arcsin(|x-frac{1}{2}|+|x|)$

$|x-frac{1}{2}|+|x|=t\\ T.k. |x-frac{1}{2}|+|x| > 0 npu xin (-infty; +infty), mo t>0$

Сумма $|x-frac{1}{2}|+|x|$ принимает наименьшее значение, равное 1/2, при х = 1/4.

Тогда $arcsinfrac{1}{2} =frac{pi }{6}$

Значит, для у = arcsin t, где t > 0 область значений $E(y)=[frac{pi }{6}; frac{pi }{2}]$

Ответ: $[frac{pi }{6}; frac{pi }{2}]$