. Куб 100100100 составлен из кубиков 111, некоторые из которых покрашены в чёрный цвет, а остальные в белый так, что в каждом параллелепипеде 11100, состоящем из 100 единичных кубиков, ровно два чёрных кубика и между ними расположено чётное число белых (возможно, 0). Докажите, что можно перекрасить половину чёрных кубиков в белый цвет так, чтобы в каждом параллелепипеде 11100 остался ровно один чёрный кубик.

Выберем вершину большого куба и покрасим три ребра, исходящие из неё, в красный, зелёный и синий цвета. Теперь на каждом маленьком кубике напишем, сколько кубиков нужно пройти, двигаясь параллельно красному отрезку, сколько - параллельно синему отрезку и сколько - параллельно зелёному, чтобы в итоге оказаться в кубике, примыкающем к выбранной вершине (предполагается, что записано минимальные "расстояния"). Рассмотрим два чёрных кубика в одной "полоске". Чётности сумм их "расстояний" различны. Действительно, так как между ними чётное количество кубиков, то чтобы добраться от одного чёрного кубика до другого, придётся "пройти" нечётное число кубиков (считая тот, в который пришли). Теперь давайте выкрасим в белый цвет все кубики, сумма "расстояний" для которых нечётна. В каждой "полоске" был убран ровно один чёрный кубик, следовательно, ровно один чёрный кубик остался.