Решите пожалуйста номер 7 и 8. укажите решение

Ответ

Проверено экспертом

Автор - DNHelper

7. $x=-log_{frac{1}{5}}{(25^x+a^3)}$

$x=log_5{(25^x+a^3)}\5^x=25^x+a^3\5^x-25^x=a^3$

Пусть $a^3=y$ , количество корней от этого не изменится.

Рассмотрим функцию $y=5^x-25^x$ :

$lim_{x to -infty}{y}=0\ lim_{x to infty}{y}=-infty\y'=ln{5}*5^x-2ln{5}*25^x\ln{5}*5^x-2ln{5}*25^x=0\5^x=2*25^x\frac{1}{2}=5^xLeftrightarrow x=-log_5{2}$

До точки экстремума функция возрастает, а после — убывает. Значит, это точка максимума. Максимальное значение функции равно $frac{1}{2}-frac{1}{4}=frac{1}{4}$ . Прикинем график функции (см. рис. 1). Уравнение имеет 2 различных решения, если:

$0<y<frac{1}{4}\0<a^3<frac{1}{4}\0<a<frac{1}{sqrt[3]{4}}=frac{sqrt[3]{2}}{2}$

Ответ: $(0; frac{sqrt[3]{2}}{2})$

8. При изменении размеров пирамиды соотношения между соответственными элементами не изменятся, поэтому примем для простоты вычислений сторону основания за 1.

Рассмотрим первую пирамиду:

Пусть SKM — сечение пирамиды SABCD, где K и M — середины BC и AD соответственно. Тогда в это сечение попадает окружность, вписанная в треугольник SKM и касающаяся KM в точке S' (проекция точки S), SK в точке K'. Пусть ∠SKS' = α, KO₁ — биссектриса, тогда:

$alpha=arctg frac{SS'}{S'K}=arctg 4sqrt{3}\R_1=O_1S'=S'Ktgfrac{alpha}{2}$

$tgalpha=frac{2tgfrac{alpha}{2}}{1-tg^2frac{alpha}{2}}\tgfrac{alpha}{2} =x\4sqrt{3}=frac{2x}{1-x^2}\4sqrt{3}-4sqrt{3}x^2=2x\4sqrt{3}x^2+2x-4sqrt{3}=0\t^2+2t-48=0Rightarrow t_1=-8, t_2=6 Rightarrow x_1=-frac{2}{sqrt{3}}, x_2=frac{sqrt{3}}{2}$

Учитывая, что угол находится в первой четверти, $tgfrac{alpha}{2}=frac{sqrt{3}}{2}$

$R_1=frac{1}{2}*frac{sqrt{3}}{2}=frac{sqrt{3}}{4}$

Рассмотрим вторую пирамиду:

Пусть S₁A₁C₁ — сечение пирамиды S₁A₁B₁C₁D₁. Это сечение содержит окружность, вписанную в треугольник S₁A₁C₁, касающуюся стороны A₁C₁ в точке S₁' (проекция точки S₁) и стороны S₁A₁ в точке A₁'. Пусть ∠S₁A₁S₁' = β, A₁O₂ — биссектриса. Тогда:

$beta=arctg frac{S_1S_1'}{A_1S_1'}=arctg 2sqrt{6}\R_2=O_2S_1'=S_1'A_1tgfrac{beta}{2}$

Решая аналогичное уравнение, получаем $tgfrac{beta}{2}=frac{2}{sqrt{6}}$

$R_2=frac{1}{sqrt{2}}*frac{2}{sqrt{6}}=frac{sqrt{2}}{sqrt{6}}=frac{1}{sqrt{3}}$

$frac{R_2}{R_1}=frac{frac{1}{sqrt{3}}}{frac{sqrt{3}}{4}}=frac{4}{3}$

Ответ: 4 : 3

Решите пожалуйста номер 7 и 8. Укажите решение

Ответ

Проверено экспертом

Ответы и объяснения