Даны уравнения прямых, содержащих высоты треугольника, и координаты одной из вершин треугольника. Вычислить координаты двух других вершин этого треугольника 13x+4y–7=0, 2x–y–1=0, A(5,–3).
Нужно решить с подробным решением

Ответ

Проверено экспертом

Автор - NNNLLL54

Проверим, лежит ли точка А(5,-3) на какой-либо заданной высоте. Подставим координаты этой точки в уравнения высот. Если равенство получим верное, то точка лежит на прямой.

$13x+4y-7=13cdot 5+4cdot (-3)-7=46ne 0\\2x-y-1=2cdot 5-(-3)-1=12ne 0$

Точка А(5,-3) не лежит ни на одной высоте. Для определённости, пусть высота BN имеет уравнение 2х-у-1=0, а высота СМ: 13х+4у-7=0.

BN⊥AC ⇒ направляющий вектор для АС равен нормальному вектору для BN: $vec{s}_{AC}=(2,-1)$ .

Точка А(5,-3)∈АС и уравнение АС имеет вид:

$frac{x-5}{2}=frac{y+3}{-1}; ; ,; ; -x+5=2y+6; ; ,; ; underline {x+2y+1=0}$

CM⊥AB ⇒ направляющий вектор для АВ равен нормальному вектору для CМ: $vec{s}_{AB}=(13,4)$ .

Точка А(5,-3)∈АВ и уравнение АВ имеет вид:

$frac{x-5}{13}=frac{y+3}{4}; ; ,; ; 4x-20=13y+39; ; ,; ; underline {4x-13y-59=0}$

Координаты точки В найдём как точку пересечения АВ и BN, а координаты точки С найдём как точку пересечения АС и CM .

$B:; left { {{4x-13y=59qquad } atop {2x-y=1, |cdot (-2)}} right.oplus left { {{-11y=57} atop {2x=y+1}} right. ; ; left { {{y=-frac{57}{11}} atop {2x=-frac{46}{11}}} right.; ; left { {{y-frac{57}{11}} atop {x=-frac{23}{11}}} right. ; ; B(-frac{23}{11}, ,, -frac{57}{11})\\\C:; left { {{x+2y=-1, |cdot (-2)} atop {13x+4y=7qquad }} right.oplus left { {{2y=-x-1} atop {11x=9quad }} right. ; ; left { {{2y=-frac{20}{11}} atop {x=frac{9}{11}}} right.; left { {{y=-frac{10}{11}} atop {x=frac{9}{11}}} right.; ; C(frac{9}{11}, ,, -frac{10}{11})$