Помогите решить уравнение: 2arcsin x=arccos 3x...можно пожалуйста с объяснением..

Ответ

Автор - hello93

$2arcsin(x)=arccos(3x)$

Для начала разберемся какому промежутку будет принадлежать корень уравнения.

$y=arcsin(x)=>xinbigg[-1;1bigg]\y=arccos(3x)\-1leq3xleq 1=>xinbigg[-frac{1}{3};frac{1}{3}bigg]$

Объедения промежутки получаем, что

$xinbigg[-frac{1}{3};frac{1}{3}bigg]$

Теперь приступим к решению

$2arcsin(x)=arccos(3x)\2arcsin(x)-arccos(3x)=0\cos(2arcsin(x)-arccos(3x))=cos(0)\cos(arccos(3x)-2arcsin(x))=1\cos(arccos(3x))cos(-2arcsin(x))-sin(arccos(3x)sin(-2arcsin(x))=1\\cos(arccos(3x))=3x\cos(-2arcsin(x))=1-2sin^2(arcsin(x))=1-2x^2\sin(arccos(3x))=sqrt{1-cos^2(arccos(3x))}=sqrt{1-9x^2}\sin(-2arcsin(x))=2sin(-arcsin(x)cos(arcsin(x))=-2xsqrt{1-x^2}\\3x(1-2x^2)+2xsqrt{1-9x^2}sqrt{1-x^2}=1\left(2xsqrt{(1-9x^2)(1-x^2)}right)^2=(1-3x+6x^3)^2$

$4x^2(1-9x^2)(1-x^2)=(1-3x+6x^3)(1-3x+6x^3)\36x^6-40x^4+4x^2=(1-3x+6x^3+9x-18x^4-6x^3-18x^4+36x^6)\36x^6-40x^4+4x^2=36x^4-36x^4+12x^3+9x^2-6x+1\4x^4+12x^3+5x^2-6x+1=0\4x^4+(6x^3+6x^3)+(9x^2-4x^2)+(-3x-3x)+1=0\2x^2(2x^2+3x-1)+3x(2x^2+3x-1)-(2x^2+3x-1)=0\(2x^2+3x-1)(2x^2+3x-1)=0\(2x^2+3x-1)^2=0\2x^2+3x-1=0\D=9-4*2*(-1)=17\x_{1,2}=frac{-3pmsqrt{17}}{4}$

Осталось проверить принадлежать ли найденные корни найденному ранее промежутку. Получаем:

$x=frac{-3+sqrt{17}}{4}$

Помогите решить уравнение: 2arcsin x=arccos 3x...Можно пожалуйста с объяснением..

Ответ

Ответы и объяснения