В трапеции АВСД основание АД в два раза больше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ABM и ДСМ прямые.
а) Докажите, что АМ=ДМ.
б) Найдите угол ВАД, если угол АДС равен 70о, а расстояние от точки М до прямой АД равно стороне ВС.

а) Продолжим боковые стороны трапеции до их взаимного пересечения. Поскольку основание AD в два раза больше BC, то BC - средняя линия получившегося треугольника, а, в свою очередь, MB и MC - серединные перпендикуляры к сторонам треугольника. Стало быть, M - центр описанной окружности треугольника, а AM=DM - как радиусы одной окружности.

б) Перпендикуляр (расстояние), опущенный на AD из M является серединным. Пусть это перпендикуляр MK. Тогда треугольник MKA является прямоугольным равнобедренным, то есть угол AMK равен 45 гр. Поскольку угол AMD в два раза больше верхнего угла треугольника, а угол AMK в два раза меньше угла AMD, то верхний угол равен углу AMK, то есть равен 45 гр. Оставшийся угол легко найти: 180-45-70=65 гр