Найдите все значения параметра а при каждом из которых система уравнений имеет ровно три решения

Ответ:  3  решения будет , когда a∈{49} ∪ {4*(10-√51)}

Объяснение:

Рассмотрим уравнение 1 :

(|y-10|+|x+3|-2)*(x^2+y^2-6)=0

Уравнение представляет собой совокупность  квадрата с центром  в точке: B(-3;10)  с половиной диагонали равной 2  и окружность с центром в начале координат и радиусом √6.

Рассмотрим уравнение 2

(x+3)^2+(y-5)^2=a -окружность с центром в точке : A (-3 ;5)  и радиусом равным √a  (находится на одной вертикали с квадратом из уравнения 1)

На рисунке показаны случаи  касания окружности  из уравнения  к  окружности и к квадрату из уравнения 1.

3 решения будет либо когда окружность из уравнения 2 касается квадрата (в 1 точке ) и пересекает окружность уравнения 1  ( в двух точках соответственно) ,  либо  когда касается окружности  уравнения и пересекает квадрат ( в двух точках соответственно).  

Все обозначения смотрите на рисунке.

Найдем  расстояния между центрами:

AB=10-5=5

AO=√(5^2+3^2)=√34

a1=5-2=3 → a=3^2=9

a2=5+2=7 → a=7^2=49

a3=√34-√6=√2* (√17-√3)  → a= (√2* (√17-√3) )^2=40-4√51=4*(10-√51)

a4=√34+√6=√2*(√17+√3) → a= (√2*(√17+√3) )^2=4*(10+√51)

Cравним:  a1  и a3

3  и √2* (√17-√3)

9 и 40-4*√51

4√51 и 31

816 < 961

Так же очевидно ,что :

a4=√34+√6 >√25+√4 =7=a2

a3=√34-√6<√49=7=a2

a4>a2>a3>a1

Тогда из рисунка видно, что 3 решения получается когда :

a=a3^2=4*(10-√51)

a= a2^2=49

a∈{49} ∪ {4*(10-√51)}

Теперь рассмотрим отдельно  то , когда a=0

В этом случае уравнение 2 имеет вид :

(x+3)^2 +(y-5)^2=0

Поскольку  квадрат число неотрицательное , то

x=-3  ; y=5

Но  эта точка не  принадлежит области первого уравнения.

Ответ :  3  решения будет , когда a∈{49} ∪ {4*(10-√51)}