В остроугольном треугольнике АВС, площадь которого равна 12, высота ВВ1, проведенная к стороне АС, равна 4. Радиус R описанной вокруг треугольника окружности равен 2 корней из 3.
Найдите отношение площади треугольника АВС к площади треугольника А1ВС1, где А1 и С1 - основания высот, проведенные к сторонам соответственно из точек А и С.

ΔАВС подобен ΔА₁ВС₁ по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (в ΔАВА₁ и ΔСВС₁:  A₁B/AB = C₁B/CB = cos∠В и ∠В - общий)

Таким образом, k = cos∠B

S abc = BB₁ • AC/2 ⇒ AC = 12•2/4 = 6

По т.синусов: sin∠B = AC/2R = 6/(2•2√3) = √3/2 ⇒ ∠B = 60° (ΔАВС - остроугольный по условию)

S abc / S a₁bc₁ = k² = cos²∠B = (1/2)² = 1/4

ОТВЕТ: 1 : 4