Первый,третий и четвёртый пожалуйста

Ответ

Проверено экспертом

Автор - DNHelper

1. Докажем отдельно два неравенства:

1) $frac{2}{frac{1}{a}+frac{1}{b}}=frac{2}{frac{a+b}{ab}}=frac{2ab}{a+b}$

$frac{2ab}{a+b}leq sqrt{ab}\frac{4a^2b^2}{a^2+2ab+b^2}leq ab\frac{4a^2b^2-a^3b-2a^2b^2-ab^3}{a^2+2ab+b^2}leq 0\frac{a^3b-2a^2b^2+ab^3}{a^2+2ab+b^2}geq 0|:ab>0\frac{a^2-2ab+b^2}{a^2+2ab+b^2}geq 0\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}geq 0$

Последнее неравенство верно, значит, и первое тоже верно.

2) $sqrt{ab}leq frac{a+b}{2}$

$2sqrt{ab}leq a+b\4ableq a^2+2ab+b^2\a^2-2ab+b^2geq 0\(a-b)^2geq 0$

Последнее неравенство верно, значит, и первое тоже верно.

Исходя из справедливости неравенств 1) и 2), двойное неравенство тоже верно.

3. По неравенству Коши

$frac{a}{b}+frac{b}{c}+frac{c}{a}geq 3sqrt[3]{frac{a}{b}*frac{b}{c}*frac{c}{a}}=3sqrt[3]{1} =3$

4. $frac{2}{a+b}+frac{2}{b+c}+frac{2}{c+a}geq frac{9}{a+b+c}$

$frac{a+b+c}{9}geq frac{1}{frac{2}{a+b}+frac{2}{b+c}+frac{2}{c+a}}\frac{a+b+c}{3}geq frac{1}{2}*frac{3}{frac{1}{a+b}+frac{1}{b+c}+frac{1}{c+a}}$

По неравенству Коши

$frac{1}{2}*frac{3}{frac{1}{a+b}+frac{1}{b+c}+frac{1}{c+a}}leq frac{1}{2}*frac{a+b+b+c+c+a}{3}=frac{1}{2}*frac{2a+2b+2c}{3}=frac{a+b+c}{3}$

Что доказывает первоначальное неравенство.