Доказать неравенство tex1) a^2-3a textgreater 5a-20\2) 28a-32leq 7a^2-4/tex

Ответ

Автор - Senpai908

В этих заданиях для меня проще выделить полный квадрат.

$a^2-3a>5a-20\ a^2-3a-5a+16>-4\ (a-4)^2>-4$

неравенство верно для всех а.

$28a-32leq 7a^2-4\ 7a^2-28a-4+32geq 0\ 7a^2-28a+28geq 0\ 7(a^2-4a+4)geq 0\ 7(a-2)^2geq0$

Левая часть - неотрицательно, неравенство верно для всех а.

Автор - matilda17562

1) Доказать:

а^2 - 3а > 5а - 20

Доказательство:

Оценим разность:

(а^2 - 3а) - (5а - 20) = а^2 - 3а - 5а + 20 = а^2 - 8а + 20 = а^2 - 8а + 16 + 4 = (а-4)^2 + 4.

Так как (а-4)^2 ≥ 0 при всех действительных а, то (а-4)^2 + 4 ≥ 4, т.е.

(а^2 - 3а) - (5а - 20) > 0, по определению

а^2 - 3а > 5а - 20, ч.т.д.

2) Доказать:

28а - 32 ≤ 7а^2 - 4

Доказательство:

Оценим разность:

(28а - 32) - (7а^2 - 4) = 28а - 32 - 7а^2 + 4 = -7а^2 + 28а - 28 = -7•(а^2 - 4а + 4) = -7•(а-2)^2.

Так как (а-2)^2 ≥ 0 при всех действительных а, то

-7•(а-2)^2 ≤ 0 при всех действительных а.

Получили, что

(28а - 32) - (7а^2 - 4) ≤ 0, тогда по определению

28а - 32 ≤ 7а^2 - 4, ч.т.д.