Sinx+cosx+sinx*cosx=1

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Universalka

Sinx + Cosx + Sinx * Cosx = 1

Обозничим Sinx + Cosx = m

Возведём обе части полученного равенства в квадрат :

(Sinx + Cosx)² = m²

Sin²x + 2SinxCosx + Cos²x = m²

Так как Sin²x + Cos²x = 1 , то :

1 + 2SinxCosx = m²

2SinxCosx = m² - 1

$SinxCosx=frac{m^{2}-1 }{2}\\m+frac{m^{2}-1 }{2}=1|*2\\2m+m^{2}-1=2 \\m^{2}+2m-3=0\\m_{1}=1\\m_{2}=-3$

1) Sinx + Cosx = - 3 - решений нет, так как |Sinx| ≤ 1 и |Cosx| ≤ 1

$2)Sinx+Cosx=1|:sqrt{2} \\frac{1}{sqrt{2}}Sinx+frac{1}{sqrt{2}}Cosx=frac{1}{sqrt{2}}\\Cosfrac{pi }{4}Sinx+Sinfrac{pi }{4}Cosx=frac{1}{sqrt{2}}\\Sin(x+frac{pi }{4})=frac{1}{sqrt{2}}$

$x+frac{pi }{4} =(-1)^{n}frac{pi }{4}+pi n,nin Z\\x=(-1)^{n}frac{pi }{4}-frac{pi }{4}+pi n,nin Z\\Otvet:boxed{(-1)^{n}frac{pi }{4}-frac{pi }{4}+pi n,nin z}$

Ответ

Проверено экспертом

Автор - NNNLLL54

Ответ: $x=(-1)^{n}cdot frac{pi}{4}-frac{pi}{4}+pi n; ,; nin Z; .$

$sinx+cosx+sinxcdot cosx=1\\\t=sinx+cosx; ; to ; ; t^2=(sinx+cosx)^2=sin^2x+cos^2x+2sinxcdot cosx; ,\\t^2=1+2sinxcdot cosx; ; to ; ; sinxcdot cosx=frac{t^2-1}{2}\\t+frac{t^2-1}{2}=1; ; ,; ; 2t+t^2-1=2; ; ,; ; t^2+2t-3=0; ,; ; \\t_1=1; ; ,; ; t_2=-3; ,\\\a); ; sinx+cosxne -3; ,; t.k.; ; |sinx|leq 1; ; i; ; |cosx|leq 1\\b); ; sinx+cosx=1; |:sqrt2\\frac{1}{sqrt2}sinx+frac{1}{sqrt2}, cosx=frac{1}{sqrt2}; ; ; ; to ; ; ; cosfrac{pi}{4}, sinx+sinfrac{pi}{4}, cosx=frac{sqrt2}{2}\\sin(x+frac{pi}{4})=frac{sqrt2}{2}$

$x+frac{pi}{4}=(-1)^{n}cdot frac{pi}{4}+pi n; ,; nin Z\\x=(-1)^{n}cdot frac{pi}{4}-frac{pi}{4}+pi n=left { {{-frac{pi}{2}+pi n; ,; esli; n=2k-1; ,; kin Z; ,} atop {pi n; ,; esli; n=2k; ,; kin Z; .; ; ; ; ; }} right.; .$

Ответ

Проверено экспертом

Ответ

Проверено экспертом

Ответы и объяснения