Решите уравнениеtex log_tgx(2 - ctgx) + 2 log_(2 - ctgx)sqrttgx = frac52 /tex

Ответ

Проверено экспертом

Автор - ArtemCoolAc

Область определения запишем

$left{begin{matrix}tgx>0\ tgx neq 1\ 2-ctgx>0\ 2-ctgx>0\ 2-ctgx neq 1\ tgx>0end{matrix}right.$

Систематизируем немного

$left{begin{matrix}tgx>0\ tgx neq 1\ 2-ctgx>0\ 2-ctgx neq 1end{matrix}right.$

Из последнего видим, что $ctgxneq 1 Rightarrow tgx=neq 1$ , а это уже есть. Остается тогда

$left{begin{matrix}tgx>0\ tgx neq 1\ ctgx<2end{matrix}right.$

Правда, решая неравенство $$ctgx<2; frac{1}{tgx}<2; frac{1-2tgx}{tgx}<0; frac{tgx-frac{1}{2} }{tgx}>0$

методом интервалов, получаем

$$tgxin(-infty;0)cup(frac{1}{2};+infty)$

Но тангенс из другого неравенства больше нуля, поэтому

$$tgx>frac{1}{2}$ и не забываем $tgxneq 1$ , вот все ограничения.

Теперь решаем неравенство:

$$log_{tgx}(2-ctgx)+2frac{1}{2 cdot log_{tgx }(2-ctgx)} =frac{5}{2};$

$$t=log_{tgx}(2-ctgx); t+frac{1}{t}-frac{5}{2}=0; frac{2t^2-5t+2}{t}=0$

Тут t явно не равно нулю в числителе, поэтому это ограничение нам особо не нужно.

$2t^2-5t+2=0; D=(-5)^2-4cdot2 cdot 2=25-16=9=3^2;$

$$t=frac{5pm3}{4}; left [ {{t=frac{1}{2} } atop {t=2}} right.$

Решаем 1-ое уравнение (t=1/2): $$log_{tgx}(2-ctgx)=frac{1}{2}; 2-ctgx=sqrt{tgx}; 2-frac{1}{tgx}=sqrt{tgx}$

$$2-frac{1}{p^2}=p; 2p^2-1=p^3; p^3-2p^2+1=0;$

Видно по сумме коэффициентов, равно 0, что p=1 - корень уравнения. Однако, $sqrt{tgx}=1; Rightarrow tgx=1$ , но по ограничениям не подходит. Теперь делим уголком или по схеме Горнера на p-1 и получаем

$p^2-p-1=0; D=(-1)^2-4cdot 1cdot(-1)=5$

$$p=frac{1pmsqrt{5} }{2}; p^2=frac{1pm 2sqrt{5}+5 }{4}=frac{3pmsqrt{5} }{2}=tgx$

Видно, что оба значения положительны, но второе и больше 1/2, так как в числителе число, куда больше, чем 1.

А вот другой корень проверим:

$$frac{3-sqrt{5} }{2}veefrac{1}{2}; (3-sqrt{5})vee1; 3-sqrt{5}<1$ , а значит, tgx <1/2 в этом случае и это нам не подходит, отсюда берем лишь

$$tgx=frac{3+sqrt{5} }{2}; x=arctg(frac{3+sqrt{5} }{2} )+pi k, k in mathbb{Z}$

Решаем второе уравнение:

$$log_{tgx}(2-ctgx)=2; 2-ctgx=tg^2x; 2-frac{1}{tgx}=tg^2x; k=tgx;$

$$2-frac{1}{k}=k^2; 2k-k^3-1=0; k^3-2k+1=0;$

(то, что $kneq 0$ здесь понятно, поэтому смело на него умножаем все уравнение без потери корней)

Тут сумма коэффициентов равна 0, k=1 - корень. Поделим на k-1 уголком или по схеме Горнера и получим

$k^3-2k+1=(k-1)(k^2+k-1)$

$(k-1)(k^2+k-1)=0;$

Корень k=1=tgx нам не подходит, так как по ограничениям $tgxneq 1$

Решаем квадратное уравнение, которое дает нам вторая скобка.

$$k^2+k-1=0; D=1^2-4cdot 1cdot(-1)=5; k=frac{-1pmsqrt{5} }{2}$

Отрицательный корень не берем, так как $tgx>frac{1}{2}$

Проверим положительный корень на выполнение ограничений (сравня с 1/2)

$$frac{sqrt{5}-1 }{2} vee frac{1}{2} Rightarrow (sqrt{5}-1) vee 1;$

Левое выражение больше правого, значит, этот корень удовлетворяет $tgx>frac{1}{2}$ (так как $k$ это не целое число, то оно не равно 1, то есть $tgxneq 1$ , поэтому корень подходит)

$$tgx=frac{sqrt{5} -1}{2}; x=arctg(frac{sqrt{5}-1}{2} )+pi n, n in mathbb{Z}$

Ответ: $boxed{x=arctg(frac{3+sqrt{5} }{2} )+pi k, k in mathbb{Z},arctg(frac{sqrt{5}-1}{2} )+pi n, n in mathbb{Z}}$

Ответ

Проверено экспертом

Автор - alkorb

ОДЗ на рисунке (решения долны входить в синие секторы)

решение на фото.

$OTBET: arcctgfrac{1+sqrt{5}}{2}+pi n; arcctgfrac{3-sqrt{5}}{2}+pi n, n in Z$

Решите уравнение
$log_{tgx}(2 - ctgx) + 2 log_{(2 - ctgx)}sqrt{tgx} = frac{5}{2}$

Ответ

Проверено экспертом

Ответ

Проверено экспертом

Ответы и объяснения

Решите уравнение​

Ответ

Проверено экспертом

Ответ

Проверено экспертом

Решите уравнение
$log_{tgx}(2 - ctgx) + 2 log_{(2 - ctgx)}sqrt{tgx} = frac{5}{2}$