..........................................

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

$13cdot sqrt{a-13^2}+27cdot sqrt{b-27^2}+40cdot sqrt{c-40^2}+31cdot sqrt{d-31^2}=dfrac{a+b+c+d}{2}$

По неравенству Коши

$13sqrt{a-13^2}leq dfrac{13^2+a-13^2}{2}=dfrac{a}{2}$

$27sqrt{b-27^2}leq dfrac{27^2+b-27^2}{2}=dfrac{b}{2}$

$40sqrt{c-40^2}leqdfrac{40^2+c-40^2}{2}=dfrac{c}{2}$

$31sqrt{d-31^2}leqdfrac{31^2+d-31^2}{2}=dfrac{d}{2}$

Сложив эти четыре неравенства мы получим

$13sqrt{a-13^2}+27sqrt{b-27^2}+40sqrt{c-40^2}+31sqrt{d-31^2}leqdfrac{a+b+c+d}{2}$

Отсюда и из уравнения следует, что примененное неравенство превратилось в равенство. Среднее геометрическое не превышает среднее арифметическое и при этом равенство достигается при

$13^2=a-13^2~~~Rightarrow~~ boxed{a=338}\ \ 27^2=b-27^2~~~Rightarow~~~ boxed{b=1458}\ \ 40^2=c-40^2~~~Rightarow~~~ boxed{c=3200}\ \ 31^2=d-31^2~~~Rightarow~~~ boxed{d=1922}$

Максимальная разность: 3200 - 338 = 2862