y=6x^3-3(a+3)x^2+4(a+1)x+1

Для каждого числа "b" укажите все значения "а" (а зависит от b), при которых b является точкой указанного вида экстремума данной функции: b - точка минимума

Ответ

Автор - ArtemCoolAc

Надо исследовать функцию y, для этого найдем её производную.

$y'=12x^2-6(a+3)x+4(a+1)$

График производной - парабола. Нам нужна точка минимума. Очевидно, что нужно знать точки экстремума. Заметим, что парабола всегда направлена вверх. Если парабола находится выше оси ОХ, точек минимума нет. Если касается, учитывая что в исходной функции 6x^3 (на бесконечности возрастает), то будет минимумом. Это условие D≥0

Далее, пусть $x_1, x_2$ - точки экстремума. На интервале $(x_1, x_2)$ функция будет убывать, то есть минимума своего достигнет в $x_2$ .

Найдем же эти точки в общем виде:

$D_1=9(a+3)^2-48(a+1)=9(a^2+6a+9)-48a-48=\ =9a^2+54a+81-48a-48=9a^2+6a+33;$

Теперь же невооруженным глазом видно, что дискриминант всегда больше 0, но докажем это всё-таки: $9a^2+6a+33=0; D_1=3^2-9*33=9-9*33=9(1-33)=-32*9<0 Rightarrow \ Rightarrow 9a^2+6a+33>0$ при любых а.

Выразим точки экстремума:

$$x_{1,2}=frac{3(a+3)pmsqrt{9a^2+6a+33} }{12}$

Здесь независимо от значений а точка, где корень взят с "+" будет больше, а значит именно это значение будет точкой минимума.

Теперь подумаем над условием. В таком выражении $$x_2=frac{3(a+3)+sqrt{9a^2+6a+33} }{12}$ и будет являться тем самым b. Подбирая любое b, получим выражение через а.

Но нужно ведь выразить а через b. Вернемся к уравнению y'=0

$12x^2-6(a+3)x+4(a+1)=0; 6x^2-3(a+3)x+2(a+1)=0;\ 6x^2+a(2-3x)+2-9x=0; a(2-3x)=-2-6x^2+9x;$

Выражаем а и получаем:

$$a=frac{-6x^2+9x-2}{2-3x}$

Ну а если через b, то $$a=frac{-6b^2+9b-2}{2-3b}$

Но такое соответствие может быть и для точек локальных максимумов. Если значение точки минимума (т.е. то, что с "+" бралось) начать преобразовывать к удобоваримому виду, мы и получим уравнение y'=0, вот начало преобразований:

$3(a+3)+sqrt{9a^2+6a+33}=12x; \ sqrt{9a^2+6a+33}=12x-3(a+3)$