F(x)=texfracx^5 5 -fracx^4 4 +fracx^3 3 +fracx^2 2 -2x+1/textex(a;a+frac13 )/tex

Ответ

Автор - ArtemCoolAc

Ну $frac{x^n}{n}$ указывает на то, что надо бы производную брать для исследования этой функции, ибо она красивая получается.

$f'(x)=x^4-x^3+x^2+x-2;$

Далее, для исследования исходной функции на возрастание/убывание необходимо найти нули производной, то есть $f'(x)=0;$

$x^4-x^3+x^2+x-2=0;$

Сумма коэффициентов в уравнении равно 0, значит, x=1 - корень

Попробуем разложить выражение, заранее зная корень.

$x^4-x^3+x^2+x-2=x^4-x^3+x^2-x+2x-2=\ =x^3(x-1)+x(x-1)+2(x-1)=(x-1)(x^3+x+2)$

Теперь нужно проанализировать правую скобку $x^3+x+2=0;$

Сумма коэффициентов при четных (2) и нечетных (1+1=2) степенях равна, значит, x=-1 - корень. $x^3+x+2=x^3+x^2-x^2-x+2x+2=x^2(x+1)-x(x+1)+2(x+1)=\ =(x+1)(x^2-x+2)$

Осталась последняя скобка в разложении, найдем дискриминант уравнения

$x^2-x+2=0; D=(-1)^2-4*1*2=1-8=-7<0 Rightarrow \ Rightarrow x^2-x+2>0$ при любых х.

Итоговое разложение $f'(x)=(x-1)(x+1)(x^2-x+2)$

Нули производной известны, это $x=pm1$

Везде при х коэффициент равен 1 (у правой скобки нет нулей, её мы считаем просто каким-то положительным числом), значит, в самом правом промежутке "+", а дальше чередование.

Имеем при $boxed {x in (-infty;-1)cup(1;+infty)}$ возрастание $f(x)$ , а при $boxed {xin(-1;1)}$ убывание $f(x)$ ,

$x=-1$ - точка локального максимума,

$x=1$ - точка локального минимума.

Убывание должно быть на интервале $(a; a+frac{1}{3})$ , поэтому если параметр захватит точки экстремума - ничего страшного, интервал как раз не включает концы.

С одной стороны, $ageq -1$ , как раз при $a=-1$ убывание на $(-1;-frac{2}{3})$ выполняется.

С другой стороны, $a+frac{1}{3}leq 1; aleq frac{2}{3}$ , при $a=-frac{2}{3}$ убывание продолжается вплоть до x=1, не включая эту точку.

Объединяя наши условия, получаем $$1leq aleq frac{2}{3} Rightarrow ain[1;frac{2}{3}]$

Ответ: $boxed {ain[1;frac{2}{3}]}$

F(x)= $frac{x^{5} }{5} -frac{x^{4} }{4} +frac{x^{3} }{3} +frac{x^{2} }{2} -2x+1$

$(a;a+frac{1}{3} )$

Ответ

Ответы и объяснения