Доказать, что при a>0(a³+ b^6) / 2 ≥ 3ab² - 4

Ответ

Проверено экспертом

Автор - ArtemCoolAc

$$ frac{a^3+b^6}{2}geq 3ab^2-4;$

Вспоминаем неравенство Коши

$$frac{a+b}{2}geq sqrt{ab}$

Применяем:

$$frac{a^3+b^6}{2}geq sqrt{a^3b^6}=|ab|^3sqrt{a}=a|b|^3sqrt{a}, (a>0)$

Покажем, что правое выражение здесь не меньше правого выражения в исходном неравенстве, тогда правое выражение в исходном неравенстве тем более будет не меньше, чем левое в исходном.

Это как если надо доказать, что a>b, мы доказали, что при a>c выполняется c>b, то точно a>b (транзитивность неравенств).

Делаем это:

$a|b|^3sqrt{a}geq 3ab^2-4; a|b|^3sqrt{a}-3ab^2+4geq 0; ab^2(|b|sqrt{a}-3)+4geq 0$

Это неравенство аналогично неравенству $t^2(t-3)+4geq 0; t=|b|sqrt{a}, t>0$

Чтобы решить это неравенство, надо найти нули функции

$f(t)=t^3-3t^2+4;$ , здесь сумма коэффициентов при нечетных степенях (1) равна сумме коэффициентов при нечетных степенях (-3+4=1), значит, t=-1 - корень. Поделив уголком на t+1 или по схеме Горнера, получим разложение $t^3-3t^2+4=(t+1)(t^2-4t+4)=(t+1)(t-2)^2$

Теперь можно решать неравенство, при этом по методу интервалов, так как при t везде коэффициент равен 1, в самом правом промежутке будет "+", а в остальных случаях при переходе через нули будет чередоваться, кроме нулей четности, как здесь t=2 (2-я степень при скобке), знаки будут - + +

Тогда $(t+1)(t-2)^2geq 0 Rightarrow t in[-1;2]cup[2;+infty) Rightarrow t in [-1;+infty)$

Но мы рассматриваем только t>0, а там везде неравенство выполняется, значит, выполняется и неравенство $ab^2(|b|sqrt{a}-3)+4geq 0$ , то есть $$left { {{a|b|^3sqrt{a}=sqrt{a^3b^6}geq 3ab^2-4} atop {frac{a^3+b^6}{2}geq sqrt{a^3b^6} }} right. Rightarrow frac{a^3+b^6}{2} geq 3ab^2-4$

Что и требовалось доказать (естественно, неравенство справедливо по условию с ограничением a>0)

Доказать, что при a>0

(a³+ b^6) / 2 ≥ 3ab² - 4

Ответ

Проверено экспертом

Ответы и объяснения