2 показательных уравнения - 80 балловtex9^x-0,5 -10*3^x-2 +frac13 leq 0/textex3*9^x -8*15^x+25^x+0,5 geq 0/tex

Ответ

Проверено экспертом

Автор - mmb1

9^(x-0,5) - 10*3^(x-2) + 1/3 ≤ 0

9^x/3 - 10*3^x/9 + 1/3 ≤ 0

для красоты умножим левую и правую часть на 9 и 9^x = 3^(2x)

3*3^(2x) - 10*3^x + 3 ≤ 0

3^x = t > 0

3t^2 - 10t + 3 ≤ 0

D = 100 - 4*3*3 = 64 = 8²

t12=(10+-8)/6 = 1/3 3

(3t - 1)(t - 3) ≤ 0

применяем метод интервалов

++++++++++++[1/3] ------------------------- [3] ++++++++++

t ≥ 1/3

t ≤ 3

1. t ≥ 1/3

3^x ≥ 3^(-1)

x ≥ -1

2. t ≤ 3

3^x ≤ 3

x ≤ 1

ответ x∈ [-1, 1]

=================================================

3*9^x - 8*15^x + 25^(x+0.5) ≥ 0

делим левую и правую части на 25^x (положительное число)

3*(9/25)^x - 8*(15/25)^x + 5 ≥ 0

3*(3/5)^(2x) - 8*(3/5)^x + 5 ≥ 0

(3/5)^x = t >0

3t^2 - 8t + 5 ≥ 0

D = 64 - 60 = 4 = 2²

t12 = (8+-2)/6 = 5/3 1

(t - 1)(3t - 5) ≥ 0

применяем метод интервалов

+++++++++++[1] ------------------ [5/3] +++++++++

t ≤ 1

t ≥ 5/3

1. t ≤ 1

(3/5)^x ≤ 1 = (3/5)^0

основание меньше 1 - знак неравенства меняется

x ≥ 0

2. t ≥ 5/3

(3/5)^x ≥ (3/5)^(-1)

основание меньше 1, знак меняется

x ≤ -1

Ответ x∈(-∞, -1] U [0, +∞)

Ответ

Проверено экспертом

Автор - ArtemCoolAc

1. $frac{(3^x)^2}{9^{frac{1}{2} }} -10*frac{3^x}{3^2}+frac{1}{3}leq 0; frac{1}{3}(3^x)^2-frac{10}{9}*3^x+frac{1}{3}leq 0; t=3^x; t>0;\ frac{1}{3}t^2-frac{10}{9}t+frac{1}{3}leq 0; 3t^2-10t+3leq 0;$

Теперь решим квадратное неравенство относительно t. Ограничение пока не трогаем. Решаем методом интервалов, для этого найдем нули функции $f(t)=3t^2-10t+3$

$3t^2-10t+3=0; D_1=(-5)^2-3*3=25-9=16=4^2;\ t=frac{5+-4}{3};t_1=frac{1}{3}; t_2=3$

Переходим к неравенству. $3(t-frac{1}{3})(t-3)leq 0; (t-frac{1}{3})(t-3)leq 0;$

В таком разложении есть важная особенность: знаки нам здесь можно и не проверять, так как во всех скобках при t коэффициент 1 и поэтому в правом промежутке будет "+", а дальше они будут чередоваться, так как при скобках нет четных степеней (т.е. у f(t) нет нулей четной кратности).

Имеем $boxed {t in [frac{1}{3};3]}$ или $frac{1}{3} leq t leq 3; left { {{t geq frac{1}{3} } atop {t leq 3}} right.$

Делаем обратную замену: $left { {{3^x geq 3^{-1}} atop {3^x leq 3^1}} right. Rightarrow left { {{x geq -1} atop {x leq 1}} right. Rightarrow x in[-1;1]$

Знаки не менялись, потому что $3^x$ - монотонно возрастающая функция (3>1).

Ответ: $boxed {x in[-1;1]}$

2. $3*(3^x)^2-8*3^x*5^x+5*(5^x)^2geq 0$

Напоминает тригонометрию, где слева квадрат синуса, например, а справа - квадрат косинуса. Решается делением на квадрат правого. В данном случае это $5^x>0$ , поэтому знак неравенства не поменяется.

$3*((frac{3}{5})^x )^2-8*(frac{3}{5} )^x+5geq 0; t=(frac{3}{5})^x; t>0;\ 3t^2-8t+5geq 0$

Решать будем снова методом интервалов, снова пока на ограничение не смотрим. Найдем нули $f(t)=3t^2-8t+5$

Сразу видно, что сумма коэффициентов в уравнении $3t^2-8t+5=0$ равна 0 (3-8+5=0), следовательно, $t=1$ - один корень, а второй $t=frac{c}{a}=frac{5}{3}$

Теперь имеем:

$3(t-1)(t-frac{5}{3})geq 0; (t-1)(t-frac{5}{3})geq 0$

Здесь снова при t коэффициенты равны 1, в правом промежутке (с +∞) знак "+", а дальше чередование.

$boxed {t in (-infty;1]cup[frac{5}{3}; +infty)}$

По-другому мы можем это записать таким образом:

$left [ {{t<1} atop {t>frac{5}{3} }} right.$

Делаем обратную замену:

$left [ {{(frac{3}{5})^xleq (frac{3}{5})^0 } atop {(frac{3}{5})^xgeq (frac{3}{5})^{-1} }} right. ;$

Вот здесь надо понимать, что $frac{3}{5}<1$ , функция $(frac{3}{5})^x$ - монотонно убывающая, поэтому знаки придется менять.

Тогда получим:

$left [ {{x geq 0} atop {x leq -1}} right. Rightarrow x in (-infty;-1] cup [0;+infty)$

Ответ: $boxed {x in (-infty;-1] cup [0;+infty)}$

2 ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ - 80 БАЛЛОВ

$9^{x-0,5} -103^{x-2} +frac{1}{3} leq 0$

$39^{x} -8*15^{x}+25^{x+0,5} geq 0$

Ответ

Проверено экспертом

Ответ

Проверено экспертом

Ответы и объяснения