Точка делит гипотенузу АС прямоугольного

треугольника ABC в отношении AM: MC = 2:3.

Найдите разложение вектора ВМ по векторам В. А и

ВС и длину вектора ВМ, если АВ = 10 см, С. В = 5 см

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Из условия $dfrac{AM}{MC}=dfrac{2}{3}$ , тогда $overrightarrow{AM}=dfrac{2}{5}overrightarrow{AC}$

По правилу треугольника $overrightarrow{AC}=overrightarrow{BA}+overrightarrow{BC}$

Далее снова по правилу треугольника ABM:

$overrightarrow{BM}=overrightarrow{BA}+overrightarrow{AM}=overrightarrow{BA}+dfrac{2}{5}overrightarrow{AC}=overrightarrow{BA}+dfrac{2}{5}overrightarrow{BC}-dfrac{2}{5}overrightarrow{BA}=dfrac{2}{5}overrightarrow{BC}+dfrac{3}{5}overrightarrow{BA}$

Поскольку векторы BA и BC перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, следовательно,

$left|overrightarrow{BM}right|=sqrt{left(dfrac{2}{5}overrightarrow{BC}+dfrac{3}{5}overrightarrow{BA}right)^2}=sqrt{dfrac{4}{25}BC^2+dfrac{9}{25}BA^2}=sqrt{4+36}=2sqrt{10}~_{sf CM}$