з точки перетину бісектрис рівнобедреного трикутника опущено перпендикулярно до бічної сторони, що ділить її на відрізки, різниця між якими 4 см. Ця точка ділить бісектрису, проведену до основи, на відрізки у відношенні 5:3. Обчисліть периметр трикутника, якщо кут при основі трикутника менший за 60 градусів

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в треугольник окружности и всегда находится внутри треугольника. Пусть OD = 3x и OB = 5x. CD = CE как касательные к окружности; OE = OD = 3x как радиусы, проведенные в точку касания.

По условию $CE-BE=4$ . По т. Пифагора из треугольника BOE

$BE=sqrt{OB^2-OE^2}=sqrt{(5x)^2-(3x)^2}=sqrt{25x^2-9x^2}=4x$

Далее из прямоугольного треугольника BDC по т. Пифагора:

$BC^2=BD^2+CD^2\ (BE+CE)^2=(OB+OD)^2+CE^2\ (BE+BE+4)^2=(8x)^2+(BE+4)^2\ (2BE+4)^2-(BE+4)^2=64x^2\ (2BE+4-BE-4)(2BE+4+BE+4)=64x^2\ BE(3BE+8)=64x^2\ 3BE^2+8BE-64x^2=0\ 3cdot (4x)^2+8cdot 4x-64x^2=0\ 48x^2-64x^2+32x=0\ -16x^2+32x=0\ -16x(x-2)=0\ x_1=0\ x_2=2$

Первый корень не удовлетворяет условию, значит x = 2 см.

Тогда BE = 4x = 8 см, значит CE = BE + 4 = 8 + 4 = 12 см

CD = CE = 12 см, а так как BD является медианой и высотой, то

AC = 2 * CD = 2 * 12 = 24 см; AB = BC = CE + BE = 12 + 8 = 20 см

P = AB + BC + AC = 20 + 20 + 24 = 64 см.