Пусть O — центр окружности. Продолжим отрезок OC за точку C до пересечения с окружностью в точке M. Докажем, что длина отрезка CM есть наименьшее из расстояний от точки C до точек окружности. Действительно, пусть X — произвольная точка окружности, отличная от M. Тогда
OC + CM = OM = OX < OC + CX,
(неравенство треугольника для треугольника OCX). Откуда следует, что CM < CX, что и требовалось доказать. Продолжим отрезок CO за точку O до пересечения с окружностью в точке N. По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд CM . CN = AC . CB, или CM . (12 - CM) = 4 . 5. Учитывая условие CM < OM = 6, из полученного уравнения находим, что CM = 2.