(x-2)*(xy+4)=1 y+x=xy y-x-xy=2 y+4x+2xy=0 пж даю 30 баллов!!!!!!

Ответ

Автор - ArtemCoolAc

1-ое уравнение. Оно прям разложено так, как надо для решения в целых числах. Оно имеет вид $ab=1;$

Значит, либо a=1, b=1 либо a=-1, b=-1.

Будем отталкиваться от первой скобки

$x-2=1; x=3; 3y+4=1; y=-1$

Получили решение (3;-1)

$x-2=-1; x=1; y+4=-1; y=-5$

Получили решение (-1;-5)

Всего 2 решения.

Ответ: (3;-1); (-1;-5)

2-е уравнение. $y+x-xy=0; y(1-x)+(1-x)-1+2x=0;(1-x)(y+1)=1-2x;\ y+1=frac{1-2x}{1-x}; y=frac{1-x-x}{1-x}-1=1-frac{x}{1-x}-1=-frac{x}{1-x}=frac{x}{x-1}$

Вообще занимательная зависимость. Здесь x≠1 - естественное ограничение. Нужно найти такие x∈Z, что y∈Z.

$y=frac{x}{x-1}=frac{x-1+1}{x-1}=1+frac{1}{x-1}$ . Занятно, ведь здесь все определяет 2-ое слагаемое. Очевидно, что целое число здесь может получиться только, когда в знаменателе ±1, ведь делители единицы это она и есть сама (с "+" и с "-").

x-1=±1;

x=0 или x=2

При x=0 получаем y=0 (подставили в полученную для у формулу), а при x=2 получаем y=2 (аналогично)

Вообще эти 2 решения видно с самого начала. Нулевое просто заметить и подставить, а про двойки всем известно, что их сумма равна их произведению (2+2=2*2)

Так что ответ: (0;0), (2;2)

3-е уравнение.

$y-x-xy=2; y(1-x)+(1-x)=3; (1-x)(y+1)=3;$

Здесь произведение скобок дает 3. Делители 3 - это ±1; ±3.

Получаем варианты: 1*3=3; (-1)*(-3)=3; 3*1=3; (-3)*(-1)=3.

Решаем:

1. $left { {{1-x=1} atop {y+1=3}} right. ; left { {{x=0} atop {y=2}} right. ; (0;2)$

2. $left { {{1-x=-1} atop {y+1=-3}} right. ;left { {{x=2} atop {y=-4}} right. ; (2;-4)$

3. $left { {{1-x=3} atop {y+1=1}} right. ;left { {{x=-2} atop {y=0}} right. ; (-2;0)$

4. $left { {{1-x=-3} atop {y+1=-1}} right.;left { {{x=4} atop {y=-2}} right. ;(4;-2)$

Проверив решения, получаем ответ: (0;2), (2;-4), (-2;0), (4;-2).

И 4-е уравнение. $y+4x+2xy=0; y+2x+2x+2xy=0; y(1+2x)+(1+2x)-1+2x=0; \ (1+2x)(y+1)=1-2x; y+1=frac{1-2x}{1+2x}; y=frac{1+2x-4x}{1+2x}-1=1-frac{4x}{1+2x}-1=\ =-frac{4x}{1+2x}$

$y=-frac{1+2x+2x-1}{1+2x}=-(1+frac{2x-1}{2x+1})=-(1+frac{2x+1-2}{2x+1})=-(2-frac{2}{2x+1} )=\ =frac{2}{2x+1}-2$

Все будет определять делимость дроби. В числителе 2, а значит, её делители ±1; ±2.

2x+1=±2 не будет иметь целочисленных решений, там при переносе 2x=нечетное число.

А вот 2x+1=±1 как раз будет иметь целочисленные решения.

2x+1=1; 2x=0; x=0 ⇒ y=0 (подставили в полученную для у формулу)

2x+1=-1; 2x=-2; x=-1 ⇒ y=-4 (аналогично)

Ответ: (0;0), (-1;-4)