Помогите решить по математике задачку

Ответ

Автор - ArtemCoolAc

Пусть А - работа, t - время, а $v$ - скорость работы

Тогда имеет место соотношение $t=frac{A}{v}$

Пусть $v_1,v_2$ - скорости выполнения работы 1-ой и 2-ой бригадой соответственно.

$t_1=frac{A}{v_1} ; t_2=frac{A}{v_2}; t_1+64=t_2; frac{A}{v_1}+64=frac{A}{v_2};A(frac{1}{v_2} -frac{1}{v_1})=64$

Скорость совместного выполнения работы $v_1+v_2$ , тогда время будет $t_3=frac{A}{v_1+v_2} ; t_3+36=t_1;frac{A}{v_1+v_2}+36=frac{A}{v_1}$

Итак, запишем вообще нашу систему пока без преобразований:

$left { {{frac{A}{v_1+v_2}+36=frac{A}{v_1} } atop {frac{A}{v_1}+64=frac{A}{v_2} }} right.$

Как её решать? Выразим А из каждого уравнения и приравняем друг к другу (будет весело)

$left { {{frac{A}{v_1+v_2}+36=frac{A}{v_1} } atop {frac{A}{v_1}+64=frac{A}{v_2} }} right. ; left { {{A(frac{1}{v_1}-frac{1}{v_1+v_2} )=36} atop {A(frac{1}{v_2}-frac{1}{v_1} )=64}} right.;left { {{A=frac{36}{frac{1}{v_1}-frac{1}{v_1+v_2} }} atop {A=frac{64}{frac{1}{v_2} -frac{1}{v_1} } }} right.;$

Получившиеся веселые выражения приравниваем, заодно при выполнении преобразований учтем, что $v_1>0; v_2>0$

$frac{36}{frac{1}{v_1}-frac{1}{v_1+v_2} }=frac{64}{frac{1}{v_2} -frac{1}{v_1} } };frac{36}{frac{v_1+v_2-v_1}{v_1(v_1+v_2)} }=frac{64}{frac{v_1-v_2}{v_1v_2} } ;frac{36v_1(v_1+v_2)}{v_2}=frac{64v_1v_2}{v_1-v_2}$

Продолжаем преобразования, в основном используя приведение к общему знаменателю

$frac{36v_1(v_1+v_2)(v_1-v_2)}{v_2(v_1-v_2)} =frac{64v_1v_2^2}{v_2(v_1-v_2)}$

Вот здесь тоже важный момент: в знаменателе есть условие, что $v_1-v_2neq ; v_1neq v_2$

Но это исходя из здравой логики понятно, так как изначально сказано, что группы работают не за одно и то же время, следовательно, не с одной и той же скоростью, так что мы смело можем умножить что выражение слева, что выражение справа на их общий знаменатель и ничего не случится. Получим:

$36v_1(v_1^2-v_2^2)=64v_1v_2; 36v_1^3-36v_1v_2^2-64v_1v_2^2=0;$