Найти длину дуги кривой, заданной в полярной системе
координат уравнением p=1-cosφ, -π/3≤ φ≤-π/6

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Длина дуги кривой в полярной системе координат:

$L=displaystyle intlimits^{phi_1}_{phi_2}{sqrt{(rho ')^2+rho^2}} , dphi$

$displaystyle L=intlimits^{-frac{pi}{6}}_{-frac{pi}{3}}sqrt{sin^2phi+(1-cos phi)^2}dphi=intlimits^{-frac{pi}{6}}_{-frac{pi}{3}}sqrt{sin^2phi+1-2cosphi+cos^2phi}dphi=\ \ \ =intlimits^{-frac{pi}{6}}_{-frac{pi}{3}}sqrt{sin^2phi+1-2cosphi+1-sin^2phi}, dphi=intlimits^{-frac{pi}{6}}_{-frac{pi}{3}}sqrt{2-2cosphi}, dphi=\ \ \$

$displaystyle=intlimits^{-frac{pi}{6}}_{-frac{pi}{3}}sqrt{2(1-cos phi)}, dphi=intlimits^{-frac{pi}{6}}_{-frac{pi}{3}}sqrt{4sin^2frac{phi}{2}}, dphi=2intlimits^{-frac{pi}{6}}_{-frac{pi}{3}}bigg|sinfrac{phi}{2}bigg|~ dphi=\ \ =-2cdot 2 left(-cosfrac{phi}{2}right)bigg|^{-frac{pi}{6}}_{-frac{pi}{3}}=4cosfrac{pi}{12}-4cosfrac{pi}{6}=4cosdfrac{pi}{12}-4cdotdfrac{sqrt{3}}{2}=\ \ \ =4cosdfrac{pi}{12}-2sqrt{3}~~boxed{=}$

распишем cos п/12:

$cos dfrac{pi}{12}=cos left(dfrac{pi}{4}-dfrac{pi}{6}right)=cosdfrac{pi}{4}cosdfrac{pi}{6}+sindfrac{pi}{4}sindfrac{pi}{6}=dfrac{sqrt{2}}{2}cdot dfrac{sqrt{3}}{2}+dfrac{sqrt{2}}{2}cdot dfrac{1}{2}=\ \ \ =dfrac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4}$

Окончательно получим ответ

$boxed{=}~ 4cdot dfrac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4}-2sqrt{3}=sqrt{6}+sqrt{2}-2sqrt{3}$

Найти длину дуги кривой, заданной в полярной системе координат уравнением p=1-cosφ, -π/3≤ φ≤-π/6

Ответ

Проверено экспертом

Найти длину дуги кривой, заданной в полярной системе
координат уравнением p=1-cosφ, -π/3≤ φ≤-π/6