Существуют ли числа a и b, такие, что a*cos(x)-b*cos(2x)>1? x-любое.

Ответ

Проверено экспертом

Автор - SmEgDm

$acosx-bcos2x>1,\acosx-b(2cos^2x-1)-1>0,\boxed{t:=cosx Leftrightarrow t in [-1;1]}\at-b(2t^2-1)-1>0,\2bt^2-at-b+1<0.$

Переформулируем задачу:

Существуют ли числа a и b, такие, что 2bt² - at - b + 1 < 0 при любом t ∈ [-1; 1]?

$boxed{f(t):=2bt^2-at-b+1}$

0 ∈ [-1; 1] ⇒ f(0) = 2b·0² - a·0 - b + 1 = 1 - b < 0 ⇔ b > 1.

Тогда при b > 1, график y = f(t) - парабола с ветвями вверх. Значит, решение неравенства f(t) < 0 имеет вид: (t₁; t₂), где t₁, t₂ - корни f(t).

По условию задачи должно выполняться: [-1; 1] ⊂ (t₁; t₂). То есть меньший корень должен быть меньше -1, а больший - больше 1. Для этого необходимо и достаточно, чтобы

$left { {{f(-1)<0,} atop {f(1)<0;}} right. Leftrightarrowleft { {{2b+a-b+1<0,} atop {2b-a-b+1<0;}} right. Leftrightarrowleft { {{b+1<-a,} atop {b+1<a;}} right Rightarrowleft 2b+2<a-aLeftrightarrow b <- 1.$

Но, как выяснилось ранее, b > 1 - противоречие.

Ответ: нет.

Существуют ли числа a и b, такие, что acos(x)-bcos(2x)>1? X-любое.

Ответ

Проверено экспертом

Ответы и объяснения

Существуют ли числа a и b, такие, что a*cos(x)-b*cos(2x)>1? X-любое.

Ответ

Проверено экспертом

Существуют ли числа a и b, такие, что acos(x)-bcos(2x)>1? X-любое.