Помогите, пожалуйста, решитъ 7 и 8 ( уравнение и неравенство) даю 34 бала.

Ответ

Автор - aastap7775

$sqrt{x^2-7x+49} = x^2 + 3x\x^2-7x+49 =(x^2+3x)^2, x^2+3x geq 0\x^2-7x+49 = x^4+6x^3+9x^2\x^4 + 6x^3 + 8x^2 + 7x - 49 = 0\x^4 + 4 * 1.5x^3 + 6 * 1.5^2 x^2 + 4 * 1.5^3x + 1.5^4 - 6 * 1.5x^2 - 4*1.5^3x - 1.5^4 + 8x^2 + 7x - 49 = 0\(x+1.5)^4-x^2-6.5x-54.0625=0\t = x + 1.5 => x = t - 1.5\t^4 - (t-1.5)^2 - 6.5(t-1.5) - 54.0625 = 0\t^4 - t^2 + 3t - 2.25 - 6.5t + 9.75 - 54.0625 = 0\t^4 - t^2 - 3.5t - 46.5625 = 0\t^4 - 2 * 0.5t + 0.25 - 0.25 - 3.5t - 46.5625 = 0\$

$(t^2-0.5)^2 = 3.5t + 46.8125\(t^2 - 0.5 + a) = 3.5t + 46.8125 + 2(t^2-0.5)a + a^2\f(t) = 3.5t + 46.8125 + 2at^2 - a + a^2 = 2at^2 + 3.5t + a^2 - a + 46.8125\D = 3.5^2 - 4 * 2a (a^2-a+46.8125) = 0\3.5^2 - 4 * 2a (a^2-a+46.8125) = 12.25 - 8a^3 + 8a^2 - 374.5a = -8a^3 + 8a^2 - 374.5a + 12.25 = 0\-8a^3 + 8a^2 - 374.5a + 12.25 = 0\8a^3 - 8a^2 + 374.5a - 12.25=0\2a = m => (2a)^3 - 2 * (2a)^2 + 187.25 * (2a) - 12.25 = 0 => m^3 - 2m^2 + 187.25m - 12.25 = 0\$

$m^3 - 2m^2 + 187.25m - 12.25 = m^3 - 3 *frac{2}{3}m^2 + 3 * (frac{2}{3})^2m -(frac{2}{3})^3 -3 * (frac{2}{3})^2m +(frac{2}{3})^3 + 187.25m - 12.25 = (m-frac{2}{3})^3 - frac{4}{3}m + 187.25m + frac{8}{27} - 12.25 =(m-frac{2}{3})^3 + frac{2231}{12}m - frac{1291}{108}=0\m-frac{2}{3} = b => m = b +frac{2}{3}\b^3 + frac{2231}{12}(b +frac{2}{3}) -frac{1291}{108} = b^3 +frac{2231}{12}b +$

$frac{2231}{18} - frac{1291}{108} = b^3 +frac{2231}{12}b + frac{12095}{108} =0\ Q = (frac{q}{2})^2+(frac{p}{3})^3 = (frac{12095}{216})^2 + (frac{2231}{36})^3 = frac{12095^2+2231^3}{6^6} =frac{11250781416}{6^6}\ sqrt{Q} = frac{sqrt{11250781416}}{216}\b = sqrt[3]{-frac{q}{2}+sqrt{Q}} + sqrt[3]{-frac{q}{2}-sqrt{Q}}\$

$b = sqrt[3]{-frac{12095}{216}+frac{sqrt{11250781416}}{216}} + sqrt[3]{-frac{12095}{216}-frac{sqrt{11250781416}}{216}} = frac{1}{6}*(sqrt[3]{sqrt{11250781416}-12095} - sqrt[3]{sqrt{11250781416}+12095})\m = b +frac{2}{3} = frac{1}{6}*(sqrt[3]{sqrt{11250781416}-12095} - sqrt[3]{sqrt{11250781416}+12095} +4)\m = 2a => a = frac{m}{2} = frac{1}{12}*(sqrt[3]{sqrt{11250781416}-12095} - sqrt[3]{sqrt{11250781416}+12095} +4)\(t^2 - 0.5 + a)^2 = 3.5t + 46.8125 + 2(t^2-0.5)a + a^2\$

Да, кстати, корень кубического уравнения единственный в поле действительных чисел, так как его дискриминант больше нуля.

Теперь, при таком значении а правая часть вышенаписанного уравнения - это полный квадрат. Найдем корень, учитывая это:

$t_0 = frac{-b}{2a} = frac{-3.5}{4a} = -frac{7}{8a} = -frac{7}{8*frac{1}{12}*(sqrt[3]{sqrt{11250781416}-12095} - sqrt[3]{sqrt{11250781416}+12095} +4)} = frac{21}{2(sqrt[3]{sqrt{11250781416}-12095} - sqrt[3]{sqrt{11250781416}+12095} +4)}\$

Теперь свернем правую часть в полный квадрат и решим обычное квадратное уравнение:

$(t^2 - 0.5 + a)^2 = 2a(t-t_0)^2 = (sqrt{2a}(t-t_0))^2\(t^2 - 0.5 + a)^2 - (sqrt{2a}(t-t_0))^2 = 0\(t^2 - 0.5 + a - sqrt{2a}(t-t_0))(t^2 - 0.5 + a + sqrt{2a}(t-t_0))=0\(t^2 - sqrt{2a}*t + sqrt{2a}*t_0 + a - 0.5)(t^2 + sqrt{2a}*t - sqrt{2a}*t_0 +a-0.5) = 0$

Рассмотрим первую скобку и найдем такие t, при которых она обнуляется. Получим:

$t^2 - sqrt{2a}*t + sqrt{2a}*t_0 + a - 0.5 = 0\D = 2a - 4a - 4sqrt{2a}* t_0 + 2 = 2 - 2a - 4sqrt{2a}*t_0$

Честно говоря, мне кажется, в условии допущена ошибка. Циферки сами подставите и посчитаете, писать это неудобно.

PS: спасибо Тартальи и Ферарро.

Помогите, пожалуйста, решитъ 7 и 8 ( уравнение и неравенство) Даю 34 бала.

Ответ

Ответы и объяснения