ЗнанийНет

Автор - muzy4enkovi

Нужно решить в натуральных числах. НОД(а;b)+НОК(a;b)=a+b+2

Ответ

Проверено экспертом

Автор - DNHelper

НОК делится на НОД, так как НОК включает в себя максимальные степени чисел в разложении на простые множители, а НОД — минимальные. То есть вся левая часть делится на НОД. Тогда и правая часть должна делиться на НОД. a⋮НОД(a; b), b⋮НОД(a; b) ⇒ 2⋮НОД(a; b) ⇒ НОД(a; b) = 1 или 2.

Если НОД(a; b) = 1, то есть числа взаимно просты, то НОК(a; b) = ab. Получаем

$1+ab=a+b+2\ab-b=a+1\b(a-1)=a+1$

При a = 1 равенство не выполняется, значит, можем поделить на a-1:

$b=dfrac{a+1}{a-1}=dfrac{a-1+2}{a-1}=1+dfrac{2}{a-1}Rightarrow a=2;~3Rightarrow b=3;~2$

Получаем решения (2; 3), (3; 2).

Если НОД(a; b) = 2, то пусть a = 2k, b = 2m, где k и m — взаимно простые числа. Тогда

НОД(2k; 2m) + НОК(2k; 2m) = 2k + 2m + 2

2НОД(k; m) + 2НОК(k; m) = 2k + 2m + 2

$1 + km = k + m + 1\km = k + m\km-k=m\k(m-1)=m$

При m = 1 равенство не выполняется, значит, можем поделить на m-1:

$k=dfrac{m}{m-1}=dfrac{m-1+1}{m-1}=1+dfrac{1}{m-1}Rightarrow m=2Rightarrow k=2$

Но k и m — взаимно простые числа. Значит, в данном случае решений нет.

Ответ: (2; 3), (3; 2)

Предыдущий вопрос Следующий вопрос

Ответы и объяснения

По всем вопросам пишите на - vashurokk@rambler.ru

Сайт znanija.net не имеет отношения к другим сайтам и не является официальным сайтом компании.