Есть ли среди чисел 7^n+7^k квадраты целых чисел

Ответ

Автор - alkorb

Ответ:

нет, если n и k - натуральные числа!

Пошаговое объяснение:

Воспользуемся таким свойством: квадрат натурального (или целого) числа при делении на 3 дает остаток 0 или 1.

7 в любой натуральной степени при делении на 3 дает остаток 1

в качестве доказательства можно сделать следующее:

$7=6+1 \ 7^n=(6+1)^n=6^n+a_1*6^{n-1}+a_2*6^{n-2}+...+a_{n-1}*6+1$

каждое слагаемое, кроме последнего делится на 6, а значит делится и на 3. Последнее слагаемое (единица) при делении на 3 дает остаток 1.

Значит все выражение при делении на 3 дает остаток 1.

Таким образом 7ⁿ можно переписать как 3a+1, a∈N (3 a показывает, что число делится на 3; 1 означает, что получается остаток 1)

Также 7^k=3b+1, тогда

$7^n+7^k=3a+1+3b+1=3(a+b)+2$

первое слагаемое делится на 3, а второе означает остаток.

То есть если 7^n+7^k поделить на 3, получится остаток 2, что невозможно для квадрата целого числа!