найдите среднее арифметическое( в градусах) корней уравнения cos³x+sin³x =1 на промежутке [-2п;2п]

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

$sin^3x+cos ^3x=1\ \ (sin x+cos x)(sin^2x-sin xcos x+cos^2x)=1\ \ (sin x+cos x)(1-sin xcos x)=1$

Пусть $sin x+cos x=t~~left(|t|leqsqrt{2}right)$ , возведя обе части равенства, получим $1+2sin xcos x=t^2~~Rightarrow~~ sin xcos x=dfrac{t^2-1}{2}$

$tleft(1-dfrac{t^2-1}{2}right)=1~~~|cdot 2\ \ 2t-t^3+t=2\ \ t^3-3t+2=0\ \ t^3-t^2+t^2-t-2t+2=0\ \ t^2(t-1)+t(t-1)-2(t-1)=0\ \ (t-1)(t^2+t-2)=0 \ \ (t-1)^2(t+2)=0\ t_1=1\ t_2=-2$

Второй корень t = -2 не удовлетворяет условию |t| ≤ √2.

$sin x+cos x=1\ \ sqrt{2}sin left(x+frac{pi}{4}right)=1\ \ sin left(x+frac{pi}{4}right)=dfrac{1}{sqrt{2}}\ \ x=(-1)^{k}cdot dfrac{pi}{4}+dfrac{pi}{4}+pi k,k in mathbb{Z}$

Отбор корней

n = 0; x = π/2
n = 1; x = π
n = -1; x = -π
n = -2; x = -3π/2

Среднее арифметическое корней:

$dfrac{pi/2+pi -pi-3pi/2}{4}=-dfrac{pi}{4}$ или это -45°

найдите среднее арифметическое( в градусах) корней уравнения cos³x+sin³x =1 на промежутке [-2п;2п]​

Ответ

Проверено экспертом

найдите среднее арифметическое( в градусах) корней уравнения cos³x+sin³x =1 на промежутке [-2п;2п]