При якому значенні параметра а рівняння (|x|-2)(|x|-4)=2-a має три розв'язки?

Ответ

Автор - alkorb

Ответ:

a=-6

Пошаговое объяснение:

(|x|-2)(|x|-4)=2-a

(|x|-2)(|x|-4)-2+a=0

рассмотрим функцию f(x)=(|x|-2)(|x|-4)-2+a

Она непрерывна на всей числовой оси.

f(-x)=(|-x|-2)(|-x|-4)-2+a=(|x|-2)(|x|-4)-2+a=f(x) ⇒ функция четная.

Если четная функция имеет НЕчетное количество корней, то один из них обязательно будет 0.

для уравнения: (|x|-2)(|x|-4)=2-a, при х=0, получаем

(0-2)(0-4)=2-a

-2*(-4)=2-a

8=2-a

a=2-8

a=-6 - при таком значении a уравнение имеет нечетное число различных корней.

Проверим, будет ли их ровно 3:

$(|x|-2)(|x|-4)=2+6 \ \(|x|-2)(|x|-4)=8 \ \ left[ begin{gathered} left{begin{matrix}xgeq 0;\ (x-2)(x-4)=8; end{matrix}right.\ left{begin{matrix} x<0;\ (-x-2)(-x-4)=8\ end{matrix}right.end{gathered} right. Leftrightarrow left[ begin{gathered} left{begin{matrix}xgeq 0;\ x^2-6x+8=8; end{matrix}right.\ left{begin{matrix} x<0;\ x^2+6x+8=8.\end{matrix}right.end{gathered} right. Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left[ begin{gathered} left{begin{matrix}xgeq 0;\ x^2-6x=0; end{matrix}right.\ left{begin{matrix} x<0;\ x^2+6x=0.\end{matrix}right.end{gathered} right. Leftrightarrow left[ begin{gathered} left{begin{matrix}xgeq 0;\ x(x-6)=0; end{matrix}right.\ left{begin{matrix} x<0;\ x(x+6)=0.\end{matrix}right.end{gathered} right. Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left[ begin{gathered} left{begin{matrix}xgeq 0;\ left[ begin{gathered}x=0 \x=6 end{gathered} right. ; end{matrix}right.\ left{begin{matrix} x<0;\ left[ begin{gathered}x=0 \x=-6 end{gathered} right. end{matrix}right.end{gathered} right. Leftrightarrow left[ begin{gathered}x=-6\ x=0 \x=6 end{gathered} right.$

Действительно, при a=-6 получилось 3 корня!

Ответ: a=-6