Найдите наибольшее значение выражения: -13y^2-20yz-25z^2-24z-12

Ответ

Проверено экспертом

Автор - DNHelper

Попробуем повыделять полные квадраты:

$-(13y^2+20yz+25z^2+24z+12)=-((ysqrt{13})^2+2cdot ysqrt{13}cdot dfrac{10}{sqrt{13}}z+dfrac{100}{13}z^2-\-dfrac{100}{13}z^2+25z^2+24z+12)=-((ysqrt{13}+dfrac{10}{sqrt{13}}z)^2+dfrac{225}{13}z^2+24z+12)=\=-((ysqrt{13}+dfrac{10}{sqrt{13}}z)^2+(dfrac{15}{sqrt{13}}z)^2+2cdot dfrac{15}{sqrt{13}}zcdot dfrac{4sqrt{13}}{5}+dfrac{208}{25}-dfrac{208}{25}+12)=\=-((ysqrt{13}+dfrac{10}{sqrt{13}}z)^2+(dfrac{15}{sqrt{13}}z+dfrac{4sqrt{13}}{5})^2+dfrac{92}{25})$

Так как квадрат чего-либо всегда неотрицателен, выражение в скобках не меньше 92/25 = 3,68. Значит, максимально возможное значение всего выражения равно -3,68. Оно достигается, если каждый квадрат равен нулю. Посмотрим, возможна ли эта ситуация:

$dfrac{15}{sqrt{13}}z+dfrac{4sqrt{13}}{5}=0\z=-dfrac{4sqrt{13}}{5}cdot dfrac{sqrt{13}}{15}=-dfrac{52}{75}$

$ysqrt{13}+dfrac{10}{sqrt{13}}z=ysqrt{13}-dfrac{8sqrt{13}}{15}=0\y=dfrac{8}{15}$

Раз существуют такие y и z, то максимальное значение достигается.

Ответ: -3,68