Вокруг трапеции описано круг. Найти радиус круга, если основания трапеции 20 см и 12 см, угол между боковой стороной трапеции и основой равен 30 градусов.

Ответ

Автор - ArtemCoolAc

Нарисовал чертеж с обозначениями. Во-первых, описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. Надо найти радиус этой окружности. Заметим, что окружность эта описана как около трапеции ABCD, так и около треугольника ABD.

Для треугольника ABD воспользуемся теоремой синусов и получим

$frac{BD}{sinA} =2R$

То есть $R = frac{BD}{2sinA} =frac{BD}{2*frac{1}{2} }=BD$

Даже вот так. Радиус этой окружности равен длине стороны BD.

Осталось лишь её найти. Раз трапеция равнобедренная, то и прямоугольные треугольники ABH и DCK равны (по катету - высоте и гипотенузе - боковой стороне трапеции). Значит, AH = KD

Тогда AD = AH + HK + KD = 2*AH + HK

BCKH - прямоугольник, BC = HK = 12

AH = 0.5 * (AD - HK) = 0.5 * (20 - 12) = 4

HD = HK + KD = 12 + 4 = 16

Не хватает стороны BH. Её можно найти из треугольника ABH

$ctgA = frac{AH}{BH}; sqrt{3} = frac{4}{BH}; BH = frac{4}{sqrt{3} } =frac{4sqrt{3} }{3}$

Теперь по теореме Пифагора ищем BD

$BD^2 = BH^2 + HD^2$

$BD^2 = frac{16}{3}+16^2 = frac{16+3*16^2}{3}=frac{16}{3}(1+3*16)=frac{16}{3}*49\ BD = sqrt{frac{4^2*7^2}{3} }=frac{4*7}{sqrt{3}} = frac{28}{sqrt{3} } =frac{28sqrt{3} }{3}$

Ответ: $R = frac{28sqrt{3}}{3}$