Вычислить длину дуги кривой при помощи интеграла tex sqrt fracxa + sqrt fracyb = 1/tex

Ответ

Автор - igorShap

Пусть $a,:b > 0$ Тогда $x,:y > 0$ . Также, т.к. корень - число неотрицательное, то $sqrt{dfrac{x}{a}}leq 1to xleq a\ sqrt{dfrac{y}{b}}leq 1to yleq b$ .

Теперь заменим $a$ на противоположное число $-a$ . Заметим, что теперь $-aleq xleq 0$ и каждому значению функции, соответствующее каждому значению аргумента, соответствует противоположный аргумент. Проведя аналогичные действия для $b$ , заметим, что изменение знака параметров на противоположные лишь отображает график относительно координатных осей, но не меняют длину кривой. Тогда достаточно найти длину кривой для положительных $a, b$ , а затем в получившейся формуле заменить $a$ на $|a|$ , $b$ на $|b|$ .

Теперь запишем параметрическое задание функции.

Пусть $x=asin^4t$ . Тогда $sin^2t+sqrt{dfrac{y}{b}}=sin^2t+cos^2tto y=bcos^4t$ , $tin[0;dfrac{pi}{2}]$ .

$x'_t=4asin^3tcost\ y'_t=-4bcos^3tsint$

Вычисление длины кривой на фото 1 и 2. На 3 фото вычисление вспомогательного интеграла.

Теперь остается лишь подставить модули параметров. Получаем $L=dfrac{a^2b^2}{(sqrt{a^2+b^2})^3}ln|dfrac{|a|+|b|+sqrt{a^2+b^2}}{|a|+|b|-sqrt{a^2+b^2}}|+dfrac{|a|^3+|b|^3}{a^2+b^2}$

вычислить длину дуги кривой при помощи интеграла

$sqrt{ frac{x}{a} } + sqrt{ frac{y}{b} } = 1$

Ответ

Ответы и объяснения

вычислить длину дуги кривой при помощи интеграла ​

Ответ

вычислить длину дуги кривой при помощи интеграла

$sqrt{ frac{x}{a} } + sqrt{ frac{y}{b} } = 1$